Derivadas

CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

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DERIVADAS ALGEBRAICAS

3 DERIVADAS ALGEBRAICAS
Entiéndase la derivada como la pendiente de la recta tangente a la función en un punto dado, lo anterior implica que la función debe existir en ese punto para poder trazar una recta tangente en él.

3.1. DIFERENCIACIÓN NORMAL
La derivada se puede conocer como un caso particular dellímite. Para conocer numéricamente el valor de la pendiente de una función en un punto dado es necesario resolver la ecuación:

Pendiente en P1 = Lim
h →0

f ( x1 + h ) − f ( x1 ) h

Para lo cual hay necesidad de utilizar una calculadora y evaluar la ecuación en valores cercanos a cero (0). A lo anterior se le conoce como el método numérico, utilizado para conocer la pendiente de la ecuaciónde grado menor, pero existe lo que se llama diferenciación formal para resolver ecuaciones de grado superior.

3.2. FUNCIONES POLINOMIALES Y SUS DERIVADAS
Existen los conocidos monomios y polinomios, los primeros contiene solamente una expresión de la variable, y los segundos corresponden a una suma finita de monomios.

3.- Derivadas Algebraicas

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Derivada
Sea y = f ( x ) una función de x. Si el limite

dy f (x + h ) − f (x ) = f ' ( x ) = Lim h →0 dx h
Existe y es finito, diremos que este límite es la derivada de ƒ respecto a x y que ƒ es diferenciable en x.

A continuación se estudiaran algunas reglas para diferenciación:

Derivada de una Constante

Regla No. 3.1

La derivada de una constante es cero

Elsignificado geométrico de esta afirmación es el hecho que la pendiente de la recta y = c , para cualquier valor de x, es cero.

Derivada de una potencia entera positiva

Potencias enteras positivas de x Si n es un número entero positivo, entonces:

Regla No. 3.2

d n x = n x n −1 dx

3.- Derivadas Algebraicas

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Deducción: Entonces

y= f (x ) = x n ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ∆x ∆x

Como n es un número entero positivo, se puede aplicar:

a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + ........ + ab n − 2 + b n −1 )
Donde a = x + ∆x , b = x , a − b = ∆x , que reemplazado en la ecuación anterior da:

∆y ( x + ∆x ) − ( x ) = ∆x ∆x
n

n

n−2 n −1 ∆y ( ∆x ) ( x + ∆x ) + ( x + ∆x ) x + ...... + ( x + ∆x ) x + x = ∆x ∆x ∆y n−1 n−2 = ( x + ∆x ) + ( x + ∆x ) x + ...... + ( x + ∆x ) x n− 2 + x n−1 ∆x n −1 n− 2

(

)

(

)

Haciendo que ∆x → 0 ,

dy ∆y = Lim dx ∆x → 0 ∆x dy = dx

(( x + 0)

n −1

+ ( x + 0)

n−2

x + ........ + ( x + 0 ) x n− 2 + x n−1

)

dy = ( x n−1 + x n −1 + ...... + x n −1 + x n −1 ) dx dy = n x n −1 dx
Ejemplos.: a.) Derivar la expresión: y = x 5

d 5 (x ) = 5x 4 dx3.- Derivadas Algebraicas

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b.) Derivar la expresión: y = x 3

d 3 ( x ) = 3x 2 dx
Derivada de una Constante por una Función

Constante por una función Si u = f (x ) es cualquier función diferenciable de x, y c es una constante, entonces:

Regla No. 3.3

d du (c u ) = c dx dx

La regla se resume en el hecho que la derivada deuna constante por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Geométricamente hablando significa que si multiplicamos la ordenada de una función por un valor cualquiera, estamos multiplicando por ese mismo número el valor de la pendiente. Deducción:

d (cu ) = Lim cf (x + ∆x ) − cf (x ) = ∆x → 0 dx ∆x d (cu ) = Lim c f (x + ∆x ) − f (x ) = ∆x → 0 dx ∆x d (cu ) = c Lim f(x + ∆x ) − f (x ) = ∆x → 0 ∆x dx d (cu ) = c du dx dx

Aplicando la definición de Derivada. Factorizando la constante

Aplicando límite de la constante Remplazando el limite por la definición de la derivada.

3.- Derivadas Algebraicas

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Ejemplo: Derivar la expresión y = 7x 5

d d (7 x 5 ) = 7 dx (x 5 ) dx d ( 7 x5 ) = 7 ( 5 x...