Derivadas

La población (en miles) de una colonia de bacterias, t minutos después de la introducción de una toxina, está dada por la función.

P (t) = [pic]+ 7 si t [pic]
-8 t+ 72 si t [pic]

[pic]

a) ¿Cuándo morirá la colonia?

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

P (9) = -8 (9) +72 =0
P (9) = - 72+72 =0R/ La Colonia morirá 9 minutos después de introducir la Toxina

b) Explicar porque la población debe ser 10.000 en algún momento entre t=1 y t=7

Para esto se aplicamos límitesa las funciones cuando t tienda a 1 y t tienda a 7.
[pic]

Es decir que la población para el minuto 1 es de 8000.

[pic]

Es decir que la población para el minuto 7 es de16000.

Debido a que esta función es continua si la población en el minuto 1 es de 8000 y la del minuto 7 es de 16000, en algún momento entre el minuto 1 y el 7 la población debióhaber sido de 10000.

c) ¿Es la función P continua en t=5? Justificar completamente

[pic] = ?

[pic] = [pic]+ 7
[pic]= [pic]+ 7
[pic] = 25 + 7 = 32[pic] = -8 t + 72
[pic] = -8 (5) + 72
[pic] = - 40 + 72 = 32

Como los limites laterales coinciden el límite de la función en el punto t= 5 es igual a 32

[pic] =32

Calcular la imagen del valor 5 en la función, lo hacemos en la función donde el 5 se puede evaluar

-8 t + 72 si t [pic] en esta función 5 hace parte del dominio de lafunción.
P (t) = -8 t + 72
P (5) = -8 (5) + 72
P (5) = -40 + 72
P (5) = 32

CONCLUSION:

*Como el límite de la función existe y vale 32; y la función evaluada en 5 vale32 la función es continua en t= 5

*Las bacterias crecen hasta 32.000 bacterias, 5 minutos después de aplicada la toxina y luego decrece hasta extinguirse a los 9 minutos.

[pic]