derivadas

DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS.

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DERIVADAS

Definición de derivada.
La derivada de una función f en el punto de abscisa x = a, se define como el siguiente
límite, si existe:
f ( a + h) − f ( a )
f ′(a) = lím
h →0
h
A la derivada de una función en un punto se le llama también tasa de variación
instantánea.
Interpretación geométrica de la derivada.

y = f(x)
P

f(a+h)
f (a + h) − f (a )

t

α

f(a)

s

β

A

B

h
a

a+h

La recta secante s, corta a la curva y = f(x), en los puntos A y P.
Su pendiente es: tgα =

PB f (a + h) − f (a)
=
AB
h

Si el punto P se va acercando al punto A, hasta confundirse con él, la recta secante s, se
transforma en la recta tangente t y el ángulo α se transforma en el ángulo β, es decir,Cuando P → A, que es equivalente a decir que h→0, el límite de la recta secante s, es
la recta tangente t
Pero cuando α → β, tgα → tgβ que es equivalente a lím tgα = tgβ
h →0

f ( a + h) − f ( a )
= f ′(a)
h →0
h
Queda probado que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta
tangente en dicho punto.
Por tanto, tgβ = pendiente de t = lim tgα = lím
h →0DERIVADAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS.

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Derivadas laterales.

Las definimos por las siguientes fórmulas:
f ( a + h) − f ( a )
Derivada por la derecha: f ′(a + ) = lím+
h →0
h

f ( a + h) − f ( a )
h →0
h
Para que una función sea derivable en un punto tienen que existir las derivadas laterales
y estas ser iguales.
Derivada por la izquierda: f ′(a − ) = lím−

Ejemplo 1:Halla la derivada de la función f ( x) =

2
en el punto x = 3
x +1

Podemos seguir los siguientes pasos:
2
2 1
1º.
f (3) =
= = ;
3 +1 4 2
2
2
2º.
f (3 + h) =
=
3 + h +1 4 + h
2
1 4 − 1.(4 + h)
−h
f (3 + h) − f (3) =
− =
=
3º.
4+h 2
2(4 + h)
2(4 + h)
−h
2(4 + h)
−1
−1
−h
4º.
=
= lím
lím
= lím
h →0
h → 0 2 h( 4 + h )
h → 0 2( 4 + h)
8
h
Ejemplo 2:
Dadala función f ( x) = x 2 , halla la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa
x = 2.
La pendiente de la recta tangente es el valor de la derivada:
f ( 2 + h ) − f ( 2)
( 2 + h) 2 − 2 2
4h + h 2
m = f ′( 2) = lím
= lím
= lím
= lím (4 + h) = 4
h→0
h→0
h→0
h →0
h
h
h
Las coordenadas del punto son:
Para x = 2, f(2) = 4 luego P(2, 4)
Aplicando la fórmula de la ecuaciónpunto-pendiente:
y − y 0 = m( x − x0 ) ⇒ y − 4 = 4( x − 2)

Función derivada.

La derivada de una función en un punto de abscisa x = a, asigna a dicho punto un
número real, que es el valor de la derivada en dicho punto.
También podemos considerar una función que asocie a cada punto x, el valor de la
derivada en ese punto. Recibe el nombre de función derivada o simplemente derivada.
f ′( x) =lím
h →0

f ( x + h) − f ( x )
h

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Derivación y continuidad.

Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto. Si la función es
continua no tiene por qué ser derivable.
Ejemplo 3
f ( x) = x − 2

2
Veamos que esta función es continua en x = 2:
⎧ x − 2 si x − 2 ≥ 0, es decir, si x ≥ 2
f ( x) = x − 2 = ⎨⎩− x + 2 si x − 2 < 0, es decir, si x < 2
lim− f ( x) = lim− (− x + 2) = 0
x→2

x →2

lim f ( x) = lim+ ( x − 2) = 0

x→2+

x →2

Los límites laterales son iguales. Y como f (2) = 2 − 2 = 0 , la función es continua en
x=2
Sin embargo no es derivable en dicho punto como vamos a ver:
− ( 2 + h) + 2 − 0
f (2 + h) − f (2)
f ′(2 − ) = lim−
= lim−
= −1
h →0
h→0
h
h
f ′(2 + ) = lim
+h →0

( 2 + h) − 2 − 0
f (2 + h) − f (2)
= lim
=1
+
h →0
h
h

Existen las derivadas laterales pero como no son iguales, la función no es derivable en
el punto x = 2.
Derivadas de operaciones con funciones.

Aplicando la definición de derivada se obtienen las siguientes fórmulas:
Derivada de una suma o diferencia: ( f ± g ) ′ = f ′ ± g ′
Derivada de un producto:

( f .g )...