Derivadas

11

Aplicaciones
de las derivadas

1. Máximos, mínimos y monotonía
■ Piensa y calcula
x2
representada en el margen, halla los máximos y
x–1
los mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Y

Dada la gráfica de la función f(x) =

x2
y=—
x–1

Solución:
Máximo relativo: O(0, 0)
Mínimo relativo: B(2, 4)
Creciente ( ): (– @, 0) ʜ (2, +@)
Decreciente ( ):(0, 1) ʜ (1, 2)

X

● Aplica la teoría
na la monotonía de las siguientes funciones:
b) y = 3x4 – 4x3
a) y = x3 – 3x2 + 3
Solución:
a) y' = 3x2 – 6x
y' = 0 ò x = 0, x = 2
Máximo relativo: A(0, 3)
Mínimo relativo: B(2, –1)
Creciente ( ): (– @, 0) ʜ (2, + @)
Decreciente ( ): (0, 2)
b) y' = 12x3 – 12x2
y' = 0 ò x = 0, x = 1
Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo:A(1, –1)Creciente ( ): (1, +@)
Decreciente ( ): (– @, 1)

2. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía de las siguientes funciones:
3
x2 + 1
a) y =
b) y = 2
x +1
x
Solución:
x2 – 1
a) y' =
x2

316

y' = 0 ò x = – 1, x = 1
Máximo relativo: A(–1, –2)
Mínimo relativo: B(1, 2)
Creciente ( ): (– @, –1) ʜ (1, + @)
Decreciente ( ): (–1, 0) ʜ (0, 1)
b) y' = –

6x
(x2+ 1)2

y' = 0 ò x = 0
Máximo relativo:A(0, 3)
Mínimo relativo: no tiene.
Creciente ( ): (– @, 0)
Decreciente ( ): (0, + @)

3. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y = √ x2 + 4
Solución:
x
y' =
2+4
√x

y' = 0 ò x = 0

Máximo relativo: no tiene.
Mínimo relativo:A(0, 2)
Creciente ( ): (0, + @)
Decreciente ( ): (– @, 0)4. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función: y = (2 – x)ex
SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

1. Calcula los máximos y los mínimos relativos y determi-

Solución:
y' = (1 – x)ex
Máximo relativo:A(1, e)
Mínimo relativo: no tiene.
Creciente ( ): (– @, 1)
Decreciente ( ): (1, +@)

y' = 0 ò x = 1

5. Calcula los máximos ylos mínimos relativos y determina la monotonía de la siguiente función en (0, 2π):
x
y = – sen x
2

Solución:
y' = 1/2 – cos x
y' = 0 ò x = π/3, x = 5π/3
—
5π 5π + 3 √ 3
Máximo relativo: A
,
3
6
—
π π – 3√ 3
Mínimo relativo: B ,
3
6

(

(

)

)

Creciente ( ): (π/3, 5π/3)
Decreciente ( ): (0, π/3) ʜ (5π/3, 2π)

2. Puntos de inflexión y curvatura
■ Piensa y calculaDada y =

2x

√ x2 + 1

Y

representada en el margen, halla los puntos de inflexión y los intervalos

de concavidad y convexidad.

2x
f(x) = —
√x2 + 1
X

Solución:
Punto de inflexión: O(0, 0)
Convexa («): (– @, 0)
Cóncava (»): (0, +@)

● Aplica la teoría
6. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura de las siguientes funciones:
b) y = – x3 + 3x2 – 2
a) y = x3 –9x2 + 27x – 26

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

Solución:
a) y' = 3x2 – 18x + 27
y'' = 6x – 18
y'' = 0 ò x = 3
y''' = 6
y'''(3) = 6 ≠ 0
Punto de inflexión:A(3, 1)
Convexa («): (3, +@)
Cóncava (»): (– @, 3)
b) y' = – 3x2 + 6x
y'' = – 6x + 6
y'' = 0 ò x = 1
y''' = – 6
y'''(1) = – 6 ? 0
Punto de inflexión:A(1, 0)
Convexa («): (– @, 1)
Cóncava (»): (1, +@)

TEMA 11. APLICACIONESDE LAS DERIVADAS

7. Calcula los puntos de inflexión y determina la curvatura de las siguientes funciones:
3x
x
a) y = 2
b) y = 2
x –1
x +1
Solución:
x2 + 1
a) y' = – 2
(x – 1)2
y'' =

2x(x2 + 3)
(x2 – 1)3

y'' = 0 ò x = 0
y''' = –

6(x4 + 6x2 + 1)
(x2 – 1)4

y'''(0) = – 6 ? 0
Punto de inflexión: O(0, 0)
Convexa («): (–1, 0) ʜ (1, +@)
Cóncava (»): (– @, –1) ʜ (0, 1)
b)y' =
y'' =

3(1 – x2)
(x2 + 1)2
6x(x2 – 3)
(x2 + 1)3

317

y'' = 0 ò x = – √3 , x = 0, x = √3
y''' = –

18(x4 – 6x2 + 1)
(x2 + 1)4

y'''(– √3 ) = 9/16 ? 0
y'''(0) = – 18 ? 0

Solución:
y' =

2x
x2 + 4
2(x2 – 4)
(x2 + 4)2

y'' = –

y'' = 0 ò x = – 2, x = 2

y'''( √3 ) = 9/16 ? 0

4x(x2 – 12)
(x2 + 4)3

Punto de inflexión:

y''' =

A(– √3 , – 3 √3 /4), O(0,...