derivadas

Cap´
ıtulo 10
Optimizaci´n
o
1

10.1

Problemas de optimizaci´n
o

Aqu´ se trata de lo siguiente:
ı
• Un problema de optimizaci´n consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras
o
palabras se trata de calcular o determinar el valor m´nimo o valor m´ximo de una funci´n de una
ı
a
o
variable.
Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar omaximizar debe ser expresada como funci´n
o
de otra de las variables relacionadas en el problema.
En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que ´stas generan
e
igualdades entre las variables que permiten la obtenci´n de la funci´n de una variable que se quiere
o
o
minimizar o maximizar.
En este tipo de problemas se debe contestar correctamente alas siguientes preguntas:
• ¿Qu´ se quiere en el problema?
e
• ¿Qu´ restricciones se tienen en el problema?
e
La respuesta correcta a la primera pregunta nos lleva a definir la funci´n que deber´ ser minimizada o
o
a
maximizada.
La respuesta correcta a la segunda pregunta dar´ origen a (al menos) una ecuaci´n que ser´ auxiliar para
a
o
a
lograr expresar a la funci´n deseada precisamentecomo una funci´n de una variable.
o
o

1

canek.azc.uam.mx: 17/ 8/ 2007

1

´
10.1. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

CAP´
ITULO 10.

Ejemplo 10.1.1 Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 50 cm3.
Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado.
La siguiente figura representa la caja:

y

y

x
xVolumen de la caja, seg´n la figura:
u
V = x2y & V = 50 ⇒
⇒ 50 = x2y; esta igualdad relaciona las variables del problema
De esta ecuaci´n podemos obtener y como funci´n de x o viceversa, despejando a la variable elegida.
o
o
El ´rea de la caja sin tapa:
a
A = x2 + 4xy
Esta es la cantidad de material, que deseamos que sea m´nima; vemos que es una funci´n de dos variables
ı
oDespejamos a y de la “restricci´n” dada, esto es, de la f´rmula del volumen:
o
o
y=

50
x2

Sustituimos en el area y obtenemos una funci´n de una sola variable:
o
A(x) = x2 + 4x

50
x2

= x2 +

200
= x2 + 200x−1
x

Derivando:
200
2x3 − 200
=
x2
x2
400
=2+ 3 >0
x

A (x) = 2x − 200x−2 = 2x −
A (x) = 2 + 200

2

2
x3

CAP´
ITULO 10.

´
10.1. PROBLEMAS DEOPTIMIZACION

Calculamos puntos cr´
ıticos:
A (x) = 0 ⇒ 2x3 − 200 = 0 ⇒ x3 = 100 ⇒ x =

√
3
100 cm

Es un m´nimo absoluto pues A (x) > 0 para cualquier x > 0. El valor correspondiente de la otra variable
ı
es:
y=

50
2

100 3

=

1
1 100
1
1√
1
3
= 100 3 =
100 = x cm
2
2 100 3
2
2
2

Ejemplo 10.1.2 Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangularesiguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que
el ´rea cercada sea m´xima.
a
a
La siguiente figura representa los corrales contiguos:

y

y

y

x

x

Tenemos que el per´metro y el ´rea de los corrales que queremos que sea m´xima son, respectivamente:
ı
a
a
P = 4x + 3y = 300
Pero como y =

&

A = 2xy

300− 4x
tenemos que
3
A(x) =

8
2x(300 − 4x)
= 200x − x2
3
3

Derivando y obteniendo los puntos cr´
ıticos:
A (x) = 200 −

16
3 · 200
75
16
x=0 ⇔
x = 200 ⇔ x =
=
es el punto cr´
ıtico
3
3
16
2

y como
A (x) = −
El ´rea m´xima ocurre para x =
a
a

16
< 0 ⇒ se trata de un m´ximo.
a
3

75
m &
2
y=

300 − 150
= 50
3

que son las dimensiones pedidas.
3

´10.1. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

CAP´
ITULO 10.

Ejemplo 10.1.3 Un terreno tiene la forma de un rect´ngulo con dos semic´rculos en los extremos. Si el
a
ı
per´metro del terreno es de 50 m encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el ´rea m´xima.
ı
a
a
El terreno lo representamos por la siguiente figura:
y

2x

x

El ´rea del terreno que queremos que sea m´xima es...