Derivadas

Derivadas Parciales
La diferenciación de un valor real de n variables se reduce al caso de una dimensión al considerar una función de n variables como una función de una variable mientras que las demás se mantienen fijas. Esto conduce al concepto de derivada parcial .
 
* Las derivadas parciales de dos variables e.

La derivada de una función de dos variable mide la rapidez de cambio dela variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables x y y podemos medir dos razones de cambio: una según cambia y, dejando a x fija y otra según cambia x, dejando a y fija.
Sea f una función de las variables x y y. La derivada parcial de f con respecto a x es la función, denotada por D1f, tal que su valor en cualquier punto x, y del dominio de festá dado por:
 
D1 f(x, y)=  limΔx→0fx+Δx,  y -f(x, y)Δx
 
si este límite existe.

De manera semejante, la derivada parcial de f con respecto a y es una función, denotada por D2f, tal que su valor en cualquier punto (x, y) del dominio f está dado por:
 
 
D2 fx, y= limΔy→0fx,  y+ Δy -f(x, y)Δy
 
si este límite existe.

El proceso para calcular una derivada parcial se llamaderivación parcial.
D1 f , se lee “D sub 1 de f”, denota la función que es la derivada parcial de f con respecto a la primera variable. D1 f x, y que se lee “D sub 1 de f de x y y", denota el valor de la función D1 f en el punto (x, y).
Otras notaciones para D1 f son f1, fx, y ∂f∂x Además se tienen las notaciones f1(x, y), fx(x, y) y ∂f (x, y)∂x para D1 f(x, y). De manera semejante para D2 f sonf2, fy, y ∂f∂y; y para D2 fx, y son f2(x, y), fy(x, y) y ∂f (x, y)∂y . 

EJEMPLO:
Aplique la definición de derivada parcial para calcular D1fx, y y D2fx, y si:
 
fx, y=3x2 -2xy +y2
Solución
 
D1fx, y =limΔx→0fx+Δx,  y -f(x, y)Δx
 
        =limΔx→03x + ∆x2-2x +∆xy +y2 -(3x2-2xy +y2) Δx

        =limΔx→03x2+6x∆x+3(∆x)2-2xy-2y∆x+y2 -3x2+2xy-y2 Δx

 
       =limΔx→03x2+6x∆x+3(∆x)2-2xy-2y∆x+y2 -3x2+2xy-y2 Δx

 
        =limΔx→06x∆x+3(∆x)2-2y∆x Δx

 
        =limΔx→06x∆x+3(∆x)2-2y∆x Δx

 
        =limΔx→0   6x+3(∆x)-2y

        =6x-2y

D2 fx, y= limΔy→0fx,  y+ Δy -f(x, y)Δy

 
        = limΔy→03x2-2xy+∆y+y+∆y2-(3x2-2xy+y2)Δy

 
       = limΔy→03x2-2xy-2x∆y+y2+2y∆y+(∆y)2-3x2+2xy-y2Δy
 
         = limΔy→03x2-2xy-2x∆y+y2+2y∆y+(∆y)2-3x2+2xy-y2Δy

        = limΔy→0-2x∆y+2y∆y+(∆y)2Δy

        = limΔy→0-2x∆y+2y∆y+(∆y)2Δy

 
        = limΔy→0-2x+2y+(∆y)
 

        =  -2x+2y

 
Si (x0, y0) es un punto particular del dominio de f, entonces:

(1)
(1)D1fx0, y0 =limΔx→0fx0+Δx,  y0 -fx0, y0Δx
 
Si este límite existe, y
(2)
(2)

D2 fx0, y0= limΔy→0fx0,  y0+ Δy -fx0, y0Δy
 
Si existe este límite.

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Se aplicara la fórmula (1) a fin de calcular D1f(3,-2) para la función f del ejemplo anterior
D1f3,-2= lim∆x→0f(3+∆x, -2)-f(3,-2)∆x

= lim∆x→03(3+∆x)2-2(3+∆x)(-2)+-22-(27+12+4)∆x

=lim∆x→027+18∆x+3(∆x)2+12+4∆x+4-43∆x

= lim∆x→0(18+3∆x+4)

=22

Las siguientes son fórmulas alternativas de (1) y (2) para D1f(x0,y0) y D2f(x0,y0):

D1fx0,y0= limx→x0f(x,y0)-fx0,y0x-x0

si este límite existe, y

D2fx0,y0= limy→y0f(x0,y)-fx0,y0y-y0

si existe este límite.

Se calculara la fórmula (3) con el objeto de calcular D1f3,-2 para la función f del primerejemplo.
D1f3,-2 = limx→3f(x,-2)-f(3,-2)x-3

= limx→33x2+4x+4-43x-3

= limx→33x2+4x+-39x-3

= limx→3(3x+13)(x-3)x-3

= limx→33x+13x-3x-3

= lim x→3 (3x+13)

=22

En el primer ejemplo se probó que: D1fx, y =...