Derivadas

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Aplicaciones de la derivada

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS APLICACIONES DE LA DERIVADA
A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica de las mismas, loque posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA
Si una función y = f ( x ) posee una derivada en el punto x1 , la curva tiene una tangente en P ( x1 , y1 ) cuya pendiente es:

m1 = tan θ =

dy dx

= f ' ( x1 ) .
x = x1Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es: y − y1 = m( x − x1 ) . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta tangente en un punto de una curva es:

y − y1 =
Si

dy dx

(x − x1 )
x = x1

m=0

tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ∞ tiene tangente vertical a la curva.
y

y = f(x) RectaNormal Recta Tangente P (x1,y1) 90°

x

Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él. La condición de perpendicular entre dos rectas es:

m1 ⋅ m2 = −1 ⇒ m2 = −

1 1 =− dy m1 dx x= x1

1

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La ecuación de la recta normal en el punto P ( x1 , y1 ) es:

y − y1 = −

1 m1

(x − x1 )
x = x1

Ejemplos. Hallar las ecuaciones de las recta tangente y normal de las siguientes curvas en el punto indicado. 1) y = 3 x Solución:
2

− 5x + 4

P(2, 6)

dy = 6 x − 5 x=2 = 6(2) − 5 = 12 − 5 = 7 dx y − 6 = 7( x − 2 ) ⇒ y − 6 = 7 x − 14 ⇒ 7 x − y − 8 = 0 (recta tangente). 1 1 m2 =− =− m1 7 1 y − 6 = − ( x − 2) ⇒ 7( y − 6) = −( x − 2) ⇒ 7 y − 42 = − x + 2 7 ⇒ x + 7 y − 44 = 0 (recta normal). m1 =
2) y = 9 x Solución:
3

− 12 x − 5

P(− 1, − 2)

dy 2 = 27 x 2 − 12 = 27(− 1) − 12 = 27 − 12 = 15 x = −1 dx y − (− 2 ) = 15( x − (− 1)) ⇒ y + 2 = 15( x + 1) ⇒ y + 2 = 15 x + 15 ⇒ 15x − y + 13 = 0 (recta tangente). 1 1 m2 = − =− 15 m1 1 y − (− 2) = − ( x − (− 1)) ⇒ 15( y + 2)= −( x + 1) ⇒ 15 y + 30 = − x − 1 15 ⇒ x + 15 y + 31 = 0 (recta normal). m1 =
3)

y=

1 x

 1 P 2,   2
=−
x =2

Solución:

m1 =

dy 1 =− 2 dx x

1 1 =− 2 2 4

1 1 1  y − = − ( x − 2) ⇒ 4 y −  = −( x − 2) ⇒ 4 y − 2 = − x + 2 ⇒ 2 4 2 
(recta tangente).

x + 4y − 4 = 0

m2 = −

1 1 =− =4 1 m1 − 4
2

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1 1 = 4( x − 2) ⇒ y − = 4 x − 8 ⇒ 2 y − 1 = 8 x − 16 2 2 ⇒ 8x − 2 y −15 = 0 (recta normal). y−
4) − x y + 6 x − Solución:
2

y 2 x 2 + 4 y − 12 = 0

P(0, 3)

∂f 2 2 2(0)(3) − 6 + 2(0)(3) 6 3 dy ∂x = 2 xy − 6 + 2 xy m1 = = = =− =− 2 2 2 2 ∂f 4 2 dx − x − 2x y + 4 − (0) − 2(0) (3) + 4 ∂y (0 , 3 ) −

3 (x − 0) ⇒ 2( y − 3) = −3x⇒ 2 y − 6 = −3x 2 ⇒ 3x + 2 y − 6 = 0 (recta tangente). 4 2 1 1 m2 = − = − = = 6 6 3 m1 − 4 2 y − 3 = ( x − 0) ⇒ 3( y − 3) = 2 x ⇒ 3 y − 9 = 2 x ⇒ 2 x − 3 y + 9 = 0 (recta normal). 3 y −3 = −
5) y = −7 x Solución:
4

+ 12 x 2 + 4 x

P(1, 9)

dy 3 = − 28x 3 + 24 x + 4 = −28(1) + 24(1) + 4 = −28 + 24 + 4 = 0 x =1 dx y − 9 = 0( x − 1) ⇒ y − 9 = 0 ⇒ y = 9 (recta tangente). 1 1 m2 = − =−(pendiente de 90° o sea, es infinita) , m1 0 1 y − 9 = − ( x − 1) ⇒ 0( y − 9) = −( x − 1) ⇒ 0 = − x + 1 ⇒ x = 1 (recta normal). 0 m1 =
Gráficamente, esto es:
y Recta Normal

10

Recta Tangente
8

y=9

6

4

f(x) = -7x4 + 12x2 + 4x

2

-1

1

2

x

x=1

3

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