Derivadas

La función derivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales1) f(x)  =k ⇒ f´(x) =0
2) f(x) =  xn ⇒ f´(x) = nxn-1
3) f(x) = [pic] ⇒ f´(x) = [pic]
 
4) f(x) = ln x ⇒ f´(x) = [pic]
5) f(x) = ex ⇒ = ex
6) f(x) =sen x ⇒ f´(x) = cos x
7) f(x) = cos x ⇒ f´(x) = -sen x

Reglas de derivación
Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:

-(f+g)´= f´(a) + g´(a)

-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)

Además si g(a)[pic]0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-[pic]

Ejercicio 6. Calcula la derivadade:

a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b) [pic]

c) h(x) = tan  x;  d) [pic]


 


Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonandola respuesta:

a) f(x)= [pic]

b) y =[pic]
c) g(x)=[pic]

 
Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que sellama derivada segunda, y  f´´´, f ´ v  que se dice son las derivadas sucesivas de f.
 
Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= ex; b) g(x) =[pic]; c) h(x)= sen x. 


Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f°g es derivable en a y se verifica:

(f°g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)

Que se llamala regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)


Ejemplo. La derivada de la función f(x)=sen (3x2-1) es aplicando la regla de la cadena f’(x)=6xcos (3x2-1)


Derivación logarítmica

Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si [pic]⇒ y[pic], y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.

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