Derivadas

4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas La función derivada La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.Tabla de derivadas de algunas funciones elementales 1) f(x) =k ⇒ f´(x) =0 2) f(x) = xn ⇒ f´(x) = nxn-1 3) f(x) =
2 x 1 4) f(x) = ln x ⇒ f´(x) = x
x ⇒ f´(x) =

1

5) f(x) = ex ⇒ = ex 6) f(x) =sen x ⇒ f´(x) = cos x 7) f(x) = cos x ⇒ f´(x) = -sen x Reglas de derivación Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica: -(f +g)´= f´(a) + g´(a)-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a) Además si g(a) ≠ 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica
f  f ´(a ) g (a´) − g ' (a ) f (a ) -   (a) = g ( g (a )) 2  
Ejercicio 6. Calcula la derivadade:
´

x2 + x senx c) h(x) = tan x; d) g ( x) = 1 senx + senx
Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta: a) f(x)= 

a) f(x) = ex(x2-3x + 2); b) g ( x) =

x2

− x ln x

x≤0 x>0

b) y = x 2 − 7

c) g(x)= 

x 2 + 1 x ≤ 0  3x − 2 x > 0

Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función(f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda, y f ´´´, f ´ v que se dice son las derivadas sucesivas de f.
Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= ex; b) g(x) =

1 ; c) h(x)= sen x.x

Regla de la cadena Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f°g es derivable en a y se verifica: (f°g)´(a) = f´(g(a)).g´(a) Que se llama la regla de la cadena (derivada de lafunción compuesta o derivada de la función de función) Derivación logarítmica Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si y = ln f ( x) ⇒ y = de aquí se llega al método de la derivaciónlogarítmica.
Ejemplo 4. Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue: ln y = ln x x = x ln x , y derivando los dos miembros de la igualdad y' 1 x = ln x + .x = ln x + 1...