Derivadas

Unidad Derivadas y Aplicaciones
Derivada de las funciones elementales.

 a 

  

0 n x 1 2 x 1 x2 e a
x

 a constante
n 1

 x 
n



x



  1     x   e x a x

    

 

 

log a x 

ln a 1 x ln a

x

 x 
x

x x (ln x  1 ) 1 x



ln x





Algebra de derivadas. Derivada de una suma y diferencia: Sean

fy

g 2 funciones definidas en , derivables  x  a,b, entonces

f

 g es derivable en x  a,b y se cumple que:

f f
Ejemplos: 1)

 g  x  
'

 g  x  
'

f ' x  f ' x  

g ' x 

g ' x 

Sea f x   3x  x , entonces

f ' x   6 x 

1 2 x

Profesora: Patricia Llach Fernández

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2) Sea f x   3x  ln2  senx  , entonces
f ' x   3x ln 3  cosx 

3)

Sea f x   5x 2  5 x  log 5 x  , entonces

f '  x   10 x 

1 5 x
5 4



1 x ln 5

Derivada del producto deuna constante por una función: Si : a,b  , es derivable  x  a,b y C  , entonces C  f  x  es también derivable en a,b.

C  f x '
Ejemplos: 1) 2)



C  f ' x 

f ( x)  4x3 ; entonces f ' ( x)  12 x 2

f ( x)  2 x

 5 ln( x) ; entonces f ' ( x) 

2 2 x



5 x

 f ' ( x) 

1 x



5 x

Derivada de un producto de funciones:

a, b   sonfunciones derivables derivable en a, b y se tiene:
Si f , g :

x 

a, b

entonces f  g es

f
Ejemplos: 1) Sea

 g  ( x)
'



f ' ( x)  g ( x )



f ( x)  g ' ( x )f ( x) 

5x  2 

x

f ' ( x)



5x  2'


x



5x  2  
1 2 x

x



'

 f ' ( x)  5 x

5x  2 

Profesora: Patricia Llach Fernández

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2) Sea

f ( x)  2 xe x
f ' ( x) 

2 x' e x
3

 2x ex

 

'

f ' ( x)  2e x

 2 xe x

3) Sea

f ( x) 

x ln( x)
'

f ' ( x) 
 f ' ( x) ...