Derivadas

La derivada y sus aplicaciones
La derivada es uno de los conceptos importantes del calculo y es tal vez el concepto más importante del cálculo infinitesimal.
Sus aplicaciones son muy variadas entre las que podemos contar el cálculo de la rapidez con la que cambia una magnitud determinada, y es por eso que la derivada se aplica en la Física, la Química, la Biología y la Economía.
Cuandotrabajamos en dos dimensiones (plano x-y) es muy común encontrar que la derivada en un punto de cualquier grafica es la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto.
El proceso para encontrar la derivada de una función se conoce comúnmente como diferenciación y es en términos prácticos el proceso inverso de la integración de una función.

DERIVADAS Y SUS APLICACIONES.

Concepto de derivadade una función en un punto (x=a) de su dominio (y=b)

-Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a,b)).
-Se utiliza como parámetro que permite ‘medir’ la forma de variación de una función en los puntos de su dominio: sentido de la variación (crecimiento/decrecimiento) y ritmo de la misma.
-Si una función es derivable en x=a es continua. Lo contrario no escierto en ocasiones.

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Ejercicios relacionados con estas ideas:
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-Determinación de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado de la misma.
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-Determinación de un punto de la gráfica en el que su tangentesea paralela a una recta dada.

Función derivada f’(x).

-A cada valor de x perteneciente al dominio (a) se le asocia por la función f’(x) el valor de su derivada (f’(x)).
-Mediante la función derivada se puede estudiar el ritmo de variación de una función , así como el sentido de la misma.
-Funciones diferentes pueden tener la misma función derivada.
-Existe la función derivada de lafunción derivada (f’’(x)) llamada derivada segunda, la derivada de la derivada segunda (f’’’(x)) y así sucesivamente.
Cálculo de derivadas:
El cálculo de la función derivada de una función se basa en las siguientes reglas.

-Reglas de derivación inmediata de funciones específicas.
-Regla de la suma/resta.
-Regla del producto.
-Regla del cociente.
-Regla de la cadena.

Debes repasarlas yconocerlas perfectamente para una correcta aplicación.

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Ejercicios relacionados con estas ideas:
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-Aplicación de reglas de derivación a diferentes funciones.

Aplicaciones de la derivada en la representación de funciones.
Estudio del crecimiento/decrecimiento de una función.
-Determinación de laderivada de la función propuesta.
-Estudio del signo de la derivada de la función
-Determinación de puntos frontera de dominio, cambios de definición y soluciones de f’(x)=0 (puntos singulares de la función derivada).
-Definición de zonas en el eje X usando como límites de las mismas los anteriores puntos singulares.
-Selección de un representante de cada zona y estudio del signo de la derivadapara el mismo. Todos los demás valores incluidos en la zona tendrán el mismo signo.
-Si en una zona los valores de la derivada son negativos la función será decreciente. En el otro caso será creciente.
-Siempre que en un valor del dominio de la función se produzca un cambio en su forma de variación tendremos un extremo (máximo si la función pasa de crecer a disminuir, mínimo en el casocontario)
Extremos relativos

La función f tiene un máximo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s) (aún cuando sea muy pequeño) conteniendo c para el cual f(c) ≥ f(x) para toda x entre r y s para la cual f(x) esté definida.

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Final del formulario
f tiene un mínimo relativo al punto c si hay un intervalo (r, s)...