Derivadas

Derivadas

La condición de derivabilidad es más fuerte que la condición de continuidad, una función derivable en un punto, además de ser continua en ese punto , varía suavemente al pasar por elpunto, no sufre cambios bruscos. Esto, lo expresamos matemáticamente en el siguiente enunciado: Si una función y=f(x) es derivable en x=a, entonces la función es continua en ese punto. Demostración: Siexiste y es finita f'(a).

Relación entre derivada y continuidad
Derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variableindependiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo consideradopara la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Supongamos que tenemos una función y la llamamos. Laderivada de es otra función que llamaremos. Representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .
En términos geométricos, esta pendiente es «la inclinación» dela línea recta que pasa justo por encima del punto y que es tangente a la gráfica de .
Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente quedavisualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de unarecta tangente.
Notamos que está pendiente coincide con la rapidez con que aumenta o disminuye el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande,entonces el valor de la función en ese punto crece (o decrece) muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece (o decrece) muy despacio en ese punto.
Es decir, tanto...