Derivadas

Derivada
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente setoma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a lagráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dichopunto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y esuna de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separalas matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental enlos estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secantetiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, unadiscontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
Supongamos que tenemos una función y la llamamos . La derivada de es otrafunción que llamaremos .
representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .
En términos geométricos, esta pendiente es «la inclinación» de la línea recta que pasa justo por el punto y que es tangente a la gráfica de .
Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanossean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.
Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumenta o disminuye el valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese...