derivadas

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

TEMA 3

(última actualización 8/9/2003)

DERIVABILIDAD
Recordemos el concepto de derivadas para funciones de una variable independiente y = f (x).
Para lo cual formamos el incremento de la función ∆y = f (x +∆x ) - f (x )
El cociente incremental será : ∆y = f (x +∆x ) - f (x )
∆x
∆x

∆y
∆x

ϕ

x=α+∆x

x=α
Figura 1

y en el limite

lim∆x→ 0

∆y
=
∆x

lim

∆x→ 0

f( α + ∆ x ) - f( α )
∆x

Si este límite existe, es por definición, la derivada de y con respecto a x en el punto x = α
Gráficamente, la derivada de y = f (x) en el punto x = α representa la pendiente de la tangente
geométrica a la curva y = f( x) en el punto correspondiente a x =α , en la figura 1 es la tg (ϕ).
Si en lugar de un punto fijo x =α se tomaun punto genérico x, la derivada de y = f (x) es a su vez
una función de x.
dy =
dx

d f(x) = f ' (x)
dx

Veamos ahora el concepto de derivada para funciones de varias variables.
Comencemos con funciones de dos variables z = f(x ,y) función de las variables x e y
Consideremos un punto fijo (a , b) perteneciente al dominio de la función.
Formaremos los incrementos de z respecto de x e y∆ x z = f ( a +∆x ,b) - f (a ,b)
∆ y z = f ( a ,b +∆y) - f (a ,b)
El primero es el incremento parcial que tiene la función cuando se incrementa la variable x, mientras
que la variable y permanece constante en y=b

1

El segundo es el incremento parcial que tiene la función cuando se incrementa la variable y, mientras
que la variable x permanece constante en x = a. Consideramos loscocientes incrementales.

∆ x z f( a + ∆ x, b) - f( a , b )
=
∆x
∆x

f(a, b + ∆ y) - f(a, b)
∆yz
=
∆y
∆y

Considerando el limite de estos cocientes incrementales cuando los incrementos de las variables x e y
tienden a cero tendremos :

lim

∆ x →

lim

∆ y →

0

0

∆ x z
∆ x

∆ y z
∆ y

=

=

f( a

lim

∆ x →

lim

∆ y →

+

0

f(a , b
0

∆ x , b) - f( a , b )
∆ x

+

∆ y ) - f(a , b )
∆ y

Si estos limites existen, se llaman derivadas parciales de la función con respecto a x y con respecto a y
en el punto (a , b). Se representan de la siguiente manera :

lim

f( a + ∆ x, b) - f( a , b )
∆x z
∂ f(a, b)
∂ f(a, b)
. x=a
= lim
=
= fx (a, b) =
y=b
∆x
∆x
∂x
∂x
∆x→ 0

lim

∆yz
=
∆y

∆x→ 0

∆y→ 0

lim∆y→ 0

f(a , b + ∆ y ) - f(a , b )
∂ f( a , b )
=
=
∆y
∂ y

fy( a , b ) =

∂ f( a , b )
.
∂ y

x=a
y= b

que son números, ya que (a , b) es un punto fijo. Si se considera un punto genérico (x ,y) tendremos :

lim

f( x + ∆ x, y) - f( x , y )
∆xz
∂ f(x, y)
= lim
=
= f x (x, y) = Z x (x, y)
∆x → 0
∆x
∆x
∂x

lim

f(x, y + ∆ y) - f(x, y )
∆yz
∂ f(x, y)
= lim
=
= f y(x, y) = Z y (x, y)
∆y→ 0
∆y
∆y
∂ y

∆x → 0

∆y→ 0

Que son nuevas funciones de (x , y)
No debe interpretarse los símbolos

∂ f(x, y)
∂x

y

∂ f(x, y)
como cocientes pues son símbolos que
∂ y

representan los limites indicados.
En definitiva para calcular la derivada parcial de z = f (x,y) con respecto a x se considera a y como
una constante y se deriva como función de xsolamente.
Para calcular la derivada parcial de z = f (x,y) con respecto a y se considera a x como una constante y
se deriva como función de y solamente.
INTERPRETACION GEOMÉTRICA
2

La ecuación z = f (x , y) tiene como representación gráfica una superficie en el espacio x y z

Al mantener y = yo constante, mientras que x varia, la ecuación z = f(x, yo) es la ecuación de la curva
Ro queresulta de la intersección de la superficie z = f (x, y) y el plano y = yo
Por lo tanto la derivada parcial de la función respecto de x nos representa la pendiente de la tangente a
la curva en el punto (x, yo ). Por ejemplo cuando x = xo la tangente de α es igual a Zx ( xo ,yo)
Para otro valor constante de y y = y1 obtenemos otra curva R1 cuya ecuación es z=f(x, y1) que se
obtiene como...