Derivadas

RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEA

La pendiente de la recta secante que conecta dos puntos en la gráfica de una función representa la razón de cambio promedio en el intervalo (x, f(x)).Esta razón se puede determinar con el cociente de diferencias.
Ejemplo 
En una investigación que se realizó para observar qué cantidad de desperdicios en toneladas se tira al océano diariamente enciertas playas del circuito de playas (Lima) para un período vacacional de una semana, se anotaron los siguientes datos:
 
 Lunes
 Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
 Días (X)
 12
3 
4 
 5
6 
7 
 Ton. desperdicio (Y)
 0.3
 1.2
2.7 
4.8 
7.5 
10.8 
14.7 
 
Si trazas las parejas de valores en el plano cartesiano y las unes te queda una gráfica como lasiguiente:

¿Cuál es la razón de cambio promedio de desperdicio que se arroja al mar entre jueves y viernes?
Aplicando el concepto de razón de cambio promedio

=    7.5  -  4.8  /   5   -  4 =  2.7 TON.Respuesta: La razón de cambio promedio de desperdicio que se arroja al mar entre jueves y viernes es de 2.7 toneladas.

La razón de cambio instantánea también conocida como la segunda derivada serefiere a la rapidez con que la pendiente de una curva cambia en determinado momento. Por lo tanto hablamos de la razón de cambio de la pendiente en un momento específico.

EJEMPLO
Un submarinolanza un proyectil,…
f (x) = -12x2 + 72x – 60 donde x es el tiempo en segundos.
¿Cuál es la razón de cambio instantáneo en x = 2?
Para mirar la razón de cambio instantánea, calculemos la razón decambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de 2, por la izquierda.
Calculemos la razón de cambio promedio en una vecindad pequeño alrededor de 2, por la derecha.La razón promedio en una vecindad pequeña alrededor de x=2 (por la izquierda y por la derecha) se acerca al mismo número. Por lo tanto, la razón de cambio instantáneo en x=2 es 24...