derivadas

Cap´
ıtulo 8
Derivadas parciales y
diferencial
8.1.

Derivadas parciales de primer orden.

Sean f : D ⊂ R2 → R y (x0 , y0 ) ∈ D. Si existe y es finito
l´
ım

x→x0

su valor se denota por

f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )
,
x − x0

(8.1)

∂f
(x0 , y0 )
∂x

o
fx (x0 , y0 )
y recibe el nombre de derivada parcial de f con respecto a x en el punto
(x0 , y0 ). De forma similar sedefine la derivada parcial con respecto a y:
∂f
f (x0 , y) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = l´
ım
,
y→y0
∂y
y − y0
que se denota tambi´n por fy (x0 , y0 ).
e

236

2

xy
Ejemplo 8.1.1. Sea f (x, y) = x2 +y2 , si (x, y) = (0, 0), y f (0, 0) = 0. Las
derivadas parciales en el origen se obtienen de la siguiente forma:

∂f
f (x, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım
=
x→0
∂x
x−0
= l´
ım0
x2

x→0

−0
0
= l´
ım = l´ 0 = 0
ım
x→0 x
x→0
x

∂f
f (0, y) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım
=
y→0
∂y
y−0
= l´
ım

y→0

0
y2

−0
y

= l´
ım

y→0

0
= l´ 0 = 0.
ım
y x→0

De (8.1) se sigue que, para x cercano a x0 , el cociente incremental
f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )
x − x0
estar´ muy pr´ximo a su l´
a
o
ımite. Por tanto, la derivada parcial ∂f (x0 , y0)
∂x
representa la velocidad con que var´ f en el punto (x0 , y0 ) y a lo largo de
ıa
la recta y = y0 , ya que haciendo el producto ∆x ∂f (x0 , y0 ) se obtiene una
∂x
aproximaci´n del incremento
o
f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ),
y la aproximaci´n es tanto mejor en cuanto que el incremento ∆x es m´s
o
a
peque˜o.
n
An´logamente, la derivada parcial ∂f (x0 , y0 ) representa lavelocidad con
a
∂y
que var´ la funci´n en el punto (x0 , y0 ) a lo largo de la recta x = x0 .
ıa
o
Debe notarse que la derivada parcial ∂f (x0 , y0 ) no es otra cosa que la
∂x
derivada con respecto a x, en el punto x0 , de la funci´n de x que resulta
o
cuando hacemos y = y0 en f (x, y). Es decir, es la derivada de f (x, y0 ) con
respecto a x.
237

Las funciones m´s simples, como las queson el resultado de realizar las
a
operaciones habituales entre funciones derivables elementales, poseen las dos
derivadas parciales en cada punto (x, y), En estos casos, ∂f y ∂f se obtienen
∂x
∂y
derivando f respecto de x e y, respectivamente, y suponiendo constante la
otra variable.

Ejemplos 8.1.2. a) f (x, y) = x sen(xy).
∂f
(x, y) = sen(xy) + xy cos(xy)
∂x
∂f
(x, y) = x2 cos(xy).∂y
b) f (x, y) =

xy
.
1+y 2

∂f
y
(x, y) =
∂x
1 + y2

∂f
1 + y 2 − y2y
x(1 − y 2 )
=x
=
.
∂y
(1 + y 2 )2
(1 + y 2 )2

8.2.

Derivadas de orden superior.

Sea f una funci´n que posee derivadas parciales de primer orden en cada
o
punto de cierto conjunto D ⊂ R2 . Las funciones
(x, y) ∈ D → fx (x, y) ∈ R
y
(x, y) ∈ D → fy (x, y) ∈ R
se denotan por fx y fy ,respectivamente, y reciben el nombre de funciones
derivadas parciales de primer orden de f . Sus derivadas parciales de primer
orden se denominan derivadas parciales de segundo orden de f . As´ por
ı,
ejemplo, el siguiente l´
ımite
238

l´
ım

x→x0

fx (x, y0 ) − fx (x0 , y0 )
x − x0

es la derivada parcial de primer orden con respecto a x de la funci´n fx en
o
el punto (x0 , y0 ).
Sedenota por fxx (x0 , y0 ) (derivada parcial de segundo orden de f
con respecto a x dos veces).
Las derivadas parciales cruzadas, fxy (x0 , y0 ) y fyx (x0 , y0 ), en general son
diferentes. Sus definiciones precisas son
fyx (x0 , y0 ) = l´
ım

fy (x, y0 ) − fy (x0 , y0 )
x − x0

fxy (x0 , y0 ) = l´
ım

fx (x0 , y) − fx (x0 , y0 )
.
y − y0

x→x0

y→y0

N´tese que fyx (x0 , y0 )es la derivada parcial de fy con respecto a x en
o
el punto (x0 , y0 ). Esta notaci´n para las derivadas de orden superior es m´s
o
a
c´moda que la notaci´n cl´sica siguiente
o
o
a
∂2f
∂ ∂f
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ),
∂x∂y
∂x ∂y
Vamos a ver un ejemplo de una funci´n f para la que fxy (0, 0) = −1 y
o
fyx (0, 0) = 1.

Ejemplo 8.2.1. Calcular las derivadas cruzadas en el origen de la...