Derivadas

DEFINICIONES DE DERIVADA
 Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto
(X, f(x)) es la derivada de f en x.
 Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto
P = (x, f(x)) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.
 Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en elinstante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f (t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.
 Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.
 Densidad de unmaterial. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.
RAZON DE CAMBIO
Se conoce como razón de cambio a la medida en que una variable cambia con respecto a otra, como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con respecto al tiempo (limdx/dt, cuando t tiende a cero.
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Supongamos que tenemos una función y la llamamos . La derivada de es otra función que llamaremos .
Representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de en el punto .
En términos geométricos, está pendiente es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto y que es tangente a la gráficade .
Al identificar dos puntos muy cercanos en la gráfica y al unirlos mediante una línea recta, una pendiente queda visualizada. Cuanto más cercanos sean los dos puntos que se unen por medio de la recta, la recta se parece más a una recta tangente a la gráfica y su pendiente se parece más a la pendiente de una recta tangente.
Notamos que esta pendiente coincide con la rapidez con que aumentael valor de la función en cada punto. Dicho de otra manera, si la pendiente en un punto es muy grande, entonces el valor de la función en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces el valor de la función crece muy despacio en ese punto.
Es decir, tanto la pendiente de la recta tangente como la rapidez de crecimiento en un punto de una función está dado por .Lamentablemente no todas las funciones poseen derivada, desde el punto de vista geométrico esto se puede deber a varias cosas: por ejemplo hay funciones donde se da el caso de que por un mismo punto pasan muchas rectas tangentes(por ejemplo la función valor absoluto en el punto 0) y no es posible definir de manera única la pendiente a la recta tangente; también se da el caso de que no se puede definirla pendiente a una recta tangente en una función que no es continua; incluso hay funciones donde cualquier recta que pase por uno de sus puntos interseca en una infinidad de puntos muy cercanos y por tanto no hay recta tangente.
Las funciones que poseen derivada se llaman diferenciables.
o EL PROBLEMA DE LA TANGENTE
La tangente es la posición límite de la recta o el límite del cono métrico (M)(llamada cuerda de la curva), cuando A es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto M (A se desplaza sucesivamente por M1, M2, M3, M4 ...)

Si C representa una función f o bien h que representa la cotangente de A. (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente)
, donde a es la abscisa de A y x la de M.
Por lo tanto,la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición: f '(a), el número derivado de f en a.
La ecuación de la tangente es Ta: y = f '(a)•(x - a) + f(a)
La recta ortogonal a la tangente TA que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su
pendiente, en un sistema de coordenadas cartesianas, viene dada por .
Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a), siempre que f'(a) ≠...