Derivadas

Mett ®

Cap´
ıtulo 8
Las T´cnicas del C´lculo
e
a
Derivaci´n
o
8.1.

Derivaci´n de Funciones Compuestas
o
(Regla de la Cadena)

Sean f y g dos funciones, g diferenciable en x0 y f diferenciable en u0 = g(x0 ), u =
g(x), la funci´n compuesta f o g es diferenciable en x0 , y:
o
[f o g] (x0 ) = f (g(x0 ))g (x0 ) ´ tambi´n si
o
e
y = F (x) = f (g(x)) entonces

df dg
dy
dy dudF
=
·
en x = x0 o bien
=
·
dx
dg dx
dx
du dx

De igual forma: (f o g o h) (x) = f (g(h(x))) · g (h(x) · h (x) y as´ sucesivamente.
ı

8.2.

Derivada de la Funci´n Inversa
o

Sea y = f (x) continuas y mon´tona, en un intervalo, que es diferenciable en un
o
dy
= f (x0 ) = 0.
punto x0 del intervalo, siendo
dx
Si x y y representan los incrementos correspondientes de las dosvariables en el
punto x0 , tenemos
y
= f (x0 ).
l´
ım
x→0
x
De lo anterior se sigue que existe una funci´n inversa x = f −1 (y) que es continua,
o
1
x
1
= l´
ım
ya que cuando
a lo menos en el punto y0 = f (x0 ) y l´
ım
=
y
x→0
y→0
y
f (x0 )
x
17

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Luis Zegarra A.

Las T´cnicas del C´lculo
e
a

y → 0 tambi´n
e

8.3.

18

x → 0.

F´rmulas deDerivaci´n de las Funciones B´sicas
o
o
a

Sea u y v funciones de x derivables en un punto.
1. (un ) = n un−1 u
2. (senu) = (cos u)u
3. (cosu) = (−senu)u
4. (tgu) = (sec2 u)u
5. (cotgu) = (−cosec2 u)u
6. (secu) = (sec u tg u)u
7. (cosecu) = (−cosec u cotgu)u
8. (log u) =

1
u
u

9. (au ) = au log a · u
10. (eu ) = eu · u
11. (senh u) = (cos h u)u
12. (cos h u) = (sen h u)u
13. (Arcsenu) = √
14. (Arc tg u) =

u
= −(Arc cotg u)
1 + u2

15. (Arc sec u) =

8.4.

u
= −(Arcos u) , |u| < 1
1 − u2

u
√
= −(Arc cosec u) , |u| > 1
|u| u2 − 1

Derivadas de Orden Superior

Si la derivada de orden (n − 1) de una funci´n y = f (x) existe entonces la derivada
o
de orden n se determina mediante:
f (n) (x) = [f (n−1) (x)]
En particular f (x) = [f (x)] ; f (x) = [f(x)] y as´ sucesivamente.
ı

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Luis Zegarra A.

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e
a

19

Si u y v son funciones derivables n veces, entonces
(c1 u + c2 v)(n) = c1 u(n) + c2 v (n) donde c1 y c2
son constantes arbitrarias.
Regla de Leibniz.
n

(uv)(n) =
k=0
n
k

8.5.

=

n (n−k) (k)
u
·v ,
k

n!
(n − k)!k!

donde

y u(0) = u; v (0) = v.

Derivada de una Funci´nImpl´
o
ıcita

Si una funci´n derivable y = f (x) satisface la ecuaci´n F (x, y) = 0 entonces
o
o
derivamos la ecuaci´n respecto de x, considerando que y es funci´n de x, es deo
o
d
F (x, y) = 0 y despejamos y = f (x).
cir
dx
Para hallar f (x) se vuelve a derivar respecto de x, la ecuaci´n obtenida y as´ suceo
ı
sivamente.

8.6.

Derivada de una Funci´n Representada Param´trio
ecamente

Si el sistema de ecuaciones:
x = φ(t); y = ψ(t), α < t < β
donde φ(t) y ψ(t) son funciones derivables y φ (t) = 0, define a y = f (x) como una
funci´n continua de x, entonces existe una derivada
o
f (x) =

ψ (t)
φ (t)

las derivadas de ordenes superiores, se obtiene mediante
f (x) =

[f (x)]t
[f (x)]t
; f (x) =
;···
φ (t)
φ (t)

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Luis Zegarra A.

LasT´cnicas del C´lculo
e
a

20

en particular para f (x) se obtiene la f´rmula
o
f (x) =

8.7.

φ (t) ψ (t) − φ (t) ψ (t)
[φ (t)]3

Problemas Resueltos

1. Sea f (x) = xr ; r ∈ R entonces f (x) = rxr−1

(x = 0)

Demostraci´n.
o
Sea xr = er log x , en virtud a la regla de la cadena (xr ) = er log x (r log x) =
1
xr r = rxr−1
x
o
2. Obtenga f´rmulas para:
a) 1 + 2x + 3x2 + · · ·+ nxn−1
b) 12 x + 22 x2 + 32 x3 + · · · + n2 xn
Soluci´n.
o
a) Considerando la P.G. de raz´n x, se tiene:
o
1 + x + x2 + · · · + xn = (xn+1 − 1)/(x − 1),
para x = 1, derivando:

1 + 2x + 3x2 + · · · + nxn−1 =

(n + 1)xn (x − 1) − (xn+1 − 1)
=
(x − 1)2

nxn+1 − (n + 1)xn + 1
(x − 1)2
b) Multiplicando la relaci´n encontrada en (a), por x, se obtiene:
o
x + 2x2 + 3x3 + · · · +...