Derivadas

FACULTAD DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCION
CURSO PREPARATORIO DE INGENIERIA

2011
CALCULO DIFERENCIAL
Capítulo 3
Prof. Ing. Civ. Héctor Amílcar Rojas Sanabria

CALCULODIFERENCIAL
DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:
Definición: La función ������: ������ ⊂ ℛ → ℛ es derivable en ������ si existe y es finito������ ������ +������ −������ ������
������������������
. En este caso, el límite se designa por ������′ ������ y recibe el nombre de
������
������ →0

derivada de ������ en ������.

Si este límite existecuando ������ → 0+  ó ������ → 0− , se le llama derivada por la derecha
ó derivada por la izquierda de ������ en ������ (derivadas laterales) y se escriben como
′
′
������+ ������ , ������− ������respectivamente.
Proposición: La condición necesaria y suficiente para que una función sea
derivable en un punto es que las derivadas laterales existan y sean iguales.
Definición: (Funciónderivable en un intervalo) Sea ������ un intervalo abierto y
������ : ������ ⊂ ℛ → ℛ una función. Si ������ es derivable en cada uno de los puntos de ������ se
dice que ������ es derivable en ������.������ es derivable en un intervalo ������, ������ si es derivable en el intervalo abierto ������, ������ y
′
existan las derivadas laterales ������+ ������ ������ ������ ′ ������
−
Interpretación geométrica dela derivada
1.

De entre todas las rectas que pasan por el punto ������ , ������ ������ , la tangente es la
que mejor aproxima a la curva ������ = ������ ������ en las proximidades de ������ a������.

2.

La ecuación de la recta tangente a la curva ������ = ������ ������ en el punto ������ , ������ ������
������ − ������ ������ = ������′ ������ ������ − ������

3.

Si la función admitederivada por la derecha en el punto ������ = ������, entonces
puede hablarse de semitangente por la derecha a la curva en el punto
′
������ , ������ ������ . Dicha...