Derivadas

ANÁLISIS MATEMÁTICO 1
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 PARTE 1/2
DERIVADAS

UNIDAD TEMÁTICA III: Derivada y diferencial
Derivada: Cociente incremental. Interpretación geométrica. Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica y física. Derivadas laterales. Continuidad de la función derivada. Procedimiento general de derivación. Derivada de funciones compuestas. Derivadas de lafunción logarítmica. Derivada de la suma, resta, producto y cociente de funciones. Derivada de las funciones potencial, irracional y exponencial. Derivada de las funciones trigonométricas y sus inversas. Derivada de las funciones inversas. Derivada de las funciones hiperbólicas. Derivadas sucesivas. Derivadas de funciones implícitas y paramétricas.

UNIDAD TEMÁTICA IV: Aplicaciones del CálculoDiferencial
Tangente y normal a una curva. Derivada de funciones crecientes y decrecientes. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy. Teorema generalizado del valor medio. Teorema de L’Hopital. Límites indeterminados: distintos casos. Polinomios de Taylor. Resto de Taylor. Extremos de funciones. Máximos y mínimos absolutos y relativos. Concavidad positiva y negativa. Puntos de inflexión. Estudiocompleto de curvas planas. Representación gráfica.

UNIDAD TEMÁTICA VI: Integral indefinida.
Integral indefinida: demostración del teorema de existencia de función primitiva como derivada del integrando. Cálculo de primitivas inmediatas. Métodos de integración: Sustitución, por partes, fracciones simples con raíces reales. Determinación de las constantes de integración.


En el TP 1, terminamosbuscando las asíntotas de , habiendo agregado el dominio, ceros y conjuntos de positividad y negatividad, se pudo esbozar la gráfica










Para tener mayor precisión, estaría bueno determinar los puntos señalados en el gráfico anterior.
Estos puntos se conocen como máximos/mínimos relativos de la función y su definición es:
Definición: sea y = f(x) una función, c  Domf
c esun máximo relativo de y = f(x) si   > 0 tal que f(c) ≥ f(x),  x  E(c; )
c es un mínimo relativo de y = f(x) si   > 0 tal que f(c) ≤ f(x),  x  E(c; )
Para que una función presente un máximo en un valor c de su dominio, debe existir un entorno de dicho punto, de forma tal que para x < c, la función aumente sus imágenes pero si x > c las imágenes disminuyen; en el caso de que este valorsea un mínimo, sucede lo contrario.
Definición:
Función
Creciente en (a; b)
Decreciente en (a, b)
En palabras
Si al aumentar los valores de la variable independiente, aumentan los valores de la variable dependiente, se dice que la función es creciente
si al aumentar los valores de la variable independiente, disminuyen los valores de la variable dependiente se dice que la función esdecreciente:
En símbolos
y = f(x) es creciente en (a; b) si f está definida en (a; b) y para todo x1  (a; b), x2  (a; b),
x1 < x2  f(x1) ≤ f(x2)
y = f(x) es decreciente en (a; b) si f está definida en (a; b) y para todo x1  (a; b), x2  (a; b),
x1 < x2  f(x1) ≥ f(x2)







La cuenta también calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (x1; f(x1)) y (x2; f(x2)). Sepuede decir, entonces, que si las pendientes de las rectas que unen cualquier punto del gráfico de y = f(x) en el intervalo (a; b) son positivas la función es creciente en el intervalo y si es negativa es decreciente en el intervalo.
¿Soluciona este resultado el problema planteado?
En realidad, se necesita el resultado recíproco; es decir, poder determinar en qué intervalos la función escreciente y qué intervalos es decreciente, desde su fórmula. Utilizando la noción de recta tangente a una curva, que proporciona la geometría, de la observación directa, sin entrar en demasiados detalles, se deduce que las pendientes son positivas cuando la función crece y son negativas cuando la función decrece.
En este punto encontramos uno de los problemas que dio inicio al desarrollo del cálculo...