derivadas

APLICACIÓN DE LA DERIVADA

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE
Función Creciente:
Si f es derivable en a:
f es estrictamente creciente en a
Función Decreciente:
Si f es derivable en a:
f es estrictamente decreciente en a

Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Ejemplo:

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
F(x) = x3 – 3x + 2
Para hallar sucrecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
F ‘(x) = 3x2 −3
2. Obtener las raíces de la derivada primera, para ello hacemos: f’(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)


4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signoque tiene en la derivada primera.
Si f’(x) > 0 es creciente.
Si f’(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x = -2, por ejemplo.
F ‘ (-2) = 3(-2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
F ‘ (0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
F ‘ (2) = 3(2)2 −3 > 0



5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
Decrecimiento: (−∞, −1)  (1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)
EJERCICIOS DE LA GUÍA:
a)






b)






c)








d)





e)







MÀXIMOS Y MINIMOS

Máximos:
Si f y f’ son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. f’(a) 0
2. f’’(a) < 0
Mínimos:
Si f y f’ son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:1. f’(a) = 0
2. f’’(a) > 0
Cálculo de los máximos y mínimos relativos
Ejm:

f(x) = x3 − 3x + 2
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f'(x) = 3x2 − 3 = 0
x = −1 x = 1.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si:
f''(x) > 0   Tenemos un mínimo.
f''(x) < 0  Tenemos un máximo.
f''(x) = 6xf''(−1) = −6  Máximo
f'' (1) = 6  Mínimo
3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4
f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0
Máximo (−1, 4)

Mínimo (1, 0)
Ejercicios:
a)







b)

c)








d)




e)
f)
g)
h)
i)
3). Mediante el criterio de la segunda derivada obtén los máximos y losmínimos de las ecuaciones:
a).
b).
CONCAVIDAD
4). Hallar los intervalos de concavidad y convexidad, y los puntos de inflexión de las funciones:
a)






b) 









c)








APLICACIONES A LA ECONOMIA
5). La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:C = 0.01x3 − 0.45x2 + 2.43x + 300
a) Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.





b) Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.


Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

6). Supongamos que el rendimiento r en % de un alumno enun examen de una hora viene dado por:
r = 300t (1−t).
Donde 0 < t < 1 es el tiempo en horas. Se pide:
a) ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
r = 300t − 300t²
r′ = 300 − 600t
300 − 600t = 0 t = ½
b) ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
300t (1−t) = 0 t = 0 t = 1
El rendimiento es nulo al empezar (t = 0) y al acabar el examen (t = 1).
c) ¿Cuando se obtiene el mayorrendimiento y cuál es?
r″ (t) = − 600
r (½)= 300 (½) − 300 (½)²= 75
Rendimiento máximo: (½, 75)
7). Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1.
f′ (x) = 3 x 2 − 6x + 7
f′′ (x) = 6 x − 6
6 x − 6 = 0 x= 1
f′′′(x) =12  f′′′(1) ≠ 0 f(1)= 6
Punto de inflexión: (1, 6)
m t = f′(1) = 4 m n = −1/4
Recta tangente: y −...