derivadas

Departamento de Matemáticas

REGLAS PRÁCTICAS PARA EL CÁLCULO DE
LÍMITES DE FUNCIONES
Cuadro resumen de las INDETERMINACIONES.
⎛k⎞
Tipo I.
lim f (x) = ⎜ ⎟
x →a
⎝0⎠
Método:
calcular loslímites laterales.
2x ⎛ 6 ⎞
Ejemplo:
lim
=⎜ ⎟
x →3 x − 3 ⎝ 0 ⎠
⎛0⎞
lim f (x) = ⎜ ⎟
x →a
⎝0⎠
Caso 1. f(x) es un cociente de polinomios.
Método:
simplificar mediante la descomposición enfactores primos.
x2 −1
⎛0⎞ 1
lim 2
=⎜ ⎟=
Ejemplo:
x →1 x + 2x − 3 ⎝ 0 ⎠
2
Observación: en la descomposición del numerador y el denominador YA SE CONOCE UNA
RAÍZ.
Caso 2.
f(x) contiene sumas yraíces cuadradas.
Método:
multiplicar y dividir por el conjugado de la parte de la fracción que contenga
la raíz cuadrada.
x −1 −1 ⎛ 0 ⎞ 1
lim
=⎜ ⎟=
Ejemplo:
x →2
x−2
⎝0⎠ 2

Tipo II.

P(x) ⎛∞ ⎞
=⎜ ⎟
x →∞ Q(x)
⎝∞⎠
se divide numerador y denominador por la mayor potencia del denominador.
2x 3 + 5x − 4
⎛∞⎞
lim 3
=⎜ ⎟
2
x →∞ 5x − 2x + 3x + 1 ⎝ ∞ ⎠

Tipo III.
Método:
Ejemplo:Tipo IV.

lim

lim f (x) = ( ∞ − ∞ )

x →∞

Caso 1. Las expresiones contienen raíces cuadradas.
Método: multiplicar y dividir la expresión por el conjugado de la expresión que contenga
lasraíces.
Ejemplo:

lim x 2 + 3 − x = ( ∞ − ∞ )

x →∞

Caso 2. Diferencia de fracciones algebraicas.
Método: efectuar la diferencia para reducirla a una fracción algebraica.
2
2x
Ejemplo: lim 2−
= (∞ − ∞)
x →1 x − 1 x − 1

1

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Tipo. Límites de los polinomios lim P(x) y lim P(x)
x →∞

x →−∞

Método: considera que a efectos del límite sólo interviene eltérmino de mayor grado.
Estudiemos los límites de los monomios y sus inversos.
•

⎧+∞ si a > 0
lim ax n = a ⋅ ∞ n = a ⋅ ∞ = ⎨
x →∞
⎩−∞ si a < 0

•

1
⎛ 1 ⎞
=⎜
⎟=0
n
x →∞ ax
⎝ ±∞ ⎠lim

Esto permite generalizar el límite en el infinito de cualquier polinomio. Lo razonaré para el caso de
grado 3

•

⎛ ax 3 bx 2 cx
d ⎞
lim ax + bx + cx + d = lim ax ⋅ ⎜ 3 + 3 + 3 +...