derivadas

Derivada
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. Laderivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variableindependiente se toma cada vezmás pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Interpretación geométrica de la derivada
 

Cuando h tiende a 0, el punto Qtiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangentea la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


La pendiente de la tangente a la curva en unpunto es igual a la derivada de la función en ese punto.
mt = f'(a)
Dada la parábola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Labisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:
f'(a) = 1.
Porque la pendiente de latangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.





 
 
Teoremas sobre derivadas
Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectivafunciónderivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobrederivadas

 
Teorema
 
La derivada de una función constante es cero. 
Prueba: Ejercicio para el estudiante.
Ejemplos:
Si  entonces 
Si  entonces 
Si  entonces 
 
 
Teorema
 Si  entonces  es derivable sobre  y  
Prueba: Ejercicio para el estudiante.
Ejemplos:



 
 
Teorema
 
Si  con  y  pertenece al conjunto A en el que  está bien definida, entonces  es derivable en  y ...