Derivadas

Aplicación de derivada

Actividad

Dada la función fx= x3- 6x2+7 calcular:

a. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
b. Máximos y Mínimos
c. Intervalos de concavidad
d.Con los datos obtenidos grafique la función

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Solución:

a) Para determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento se deben hallarprimero los puntos críticos:

f'x=3x2-12x

f'x=0

3x2-12x=0

3x(x-4)=0

X=0,4 que son los puntos críticos. (x=4 y x=0 son puntos críticos)

Ahora bien para determinar los de crecimiento y dedecrecimiento evaluamos en f’(x)

Intervalo | -∞<x<0 | 0<x<4 | 4<x<∞ |
Valor de prueba | X=-1 | X=2 | X=6 |
Signo de f’(x) | f’(-1) = 15 > 0 | f’(2) = -12 < 0 | f’(6) =36 > 0 |
Conclusión | Creciente | Decreciente | Creciente |

Por lo anterior podemos decir que la función es creciente entre los intervalos (-∞, 0)y(4,∞) pero es decreciente en el intervalo(0,4)

b) Para el cálculo del mínimo y máximo relativo se evaluará los críticos en f’(x), por lo tantof’(0)= 0, y f’(4) = 0 y de acuerdo a los resultados obtenidos anteriormente vemos que en f’(0)la función pasa de positiva a negativa por lo tanto en f’(0) existe un máximo relativo; por otra parte en f’(4) la función cambia de negativa a positiva, por lo tanto en f’(4) existe un mínimorelativo.

Otra manera de terminar estos máximos o mínimos es con el criterio de la segunda derivada

Si f’’(c)>0 mínimo relativo

Si f’’(c)<0 máximo relativo

f''x=6x-12

f''0=6(0)-12 =-12<0 máximo relativo

f''4=64-12 = 12>0 mínimo relativo

c) Para determinar los intervalos de concavidad nos ayudamos de la segunda derivada
f''x=6x-12

Intervalo | -∞<x<0 |0<x<4 | 4<x<∞ |
Valor de prueba | X = -1 | X = 3 | X = 6 |
Signo de f’’(x) | f’’(-1) = -18 < 0 | f’’(3) = 6 > 0 | f’’(6) = 24> 0 |
Conclusión | Cóncava hacia abajo | Cóncava...