Derivadas

Cap´ ıtulo 3 Derivadas
3.1. Introducci´n o

En muchos problemas de inter´s aparece la pregunta sobre qu´ significa la tangente a e e una curva y = f (x) en un punto P ; esta pregunta est´ estrechamente ligada, por ejemplo, a con la velocidad de un m´vil que se desplaza siguiendo una trayectoria determinada. o Como se ver´ en lo que sigue, para responder a esta interrogante ser´ util el conceptoa a´ de l´ ımite estudiado en el cap´ ıtulo anterior.

3.2.

La derivada de una funci´n o

Sea f una funci´n definida en un intervalo abierto I ⊆ R que contiene al n´mero o u real x0 . Definici´n 3.1. La derivada de la funci´n f en x0 , denotada por f (x0 ) , es el n´mero o o u real definido por f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 ) = l´ ım (3.1) h→0 h si el l´ ımite existe. o Definici´n 3.2. La funci´nf se dice que es diferenciable en x0 , si f (x0 ) existe. o Ejemplo 3.3. Hallar la derivada, usando la definici´n, de o 1. f (x) = mx + b. 2. f (x) = xn . √ 3. f (x) = x. Ejemplo 3.4. Encontrar la derivada de la funci´n f definida por f (x) = x2 − 8x + 9 o en el n´mero 2. u Ejemplo 3.5. Sea f (x) = √ 4x − 3.

Usando la definici´n de derivada determinar f (x). o

Ejemplo 3.6. Usando la definici´nde derivada, hallar f (x) si o 1. f (x) = √ 1 . 1 − x3

2. f (x) = loga (x), x > 0.

3.3.

Interpretaci´n geom´trica de la derivada. Ecuao e ciones de las rectas tangente y normal

La recta LP Q secante a la gr´fica de f que pasa por los puntos P = (x0 , f (x0 )) y a Q = (x0 + h, f (x0 + h))

Y

f(x0 + h)

Q

LPQ

L
f(x0)

P

x0

x0 + h

X

tiene pendiente

f (x0 +h) − f (x0 ) . h Intuitivamente, la pendiente de la recta L tangente a la gr´fica de f en el punto P se a determina como el l´ ımite de mLP Q cuando Q tiende a P , es decir mLP Q = mL = l´ ım f (x0 + h) − f (x0 ) . h→0 h

Observando la f´rmula (3.1), es de notar que la derivada de f evaluada en x0 se puede o identificar con la pendiente de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto (x0 , f (x0)). a As´ se tiene la siguiente definici´n. ı o o a Definici´n 3.7. Si la funci´n f es continua en x0 , entonces la recta tangente a la gr´fica o de f en el punto (x0 , f (x0 )) es i.) la recta y = f (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) si f es diferenciable en x0 . 2

ii.) la recta x = x0 si f no es diferenciable en x0 y f (x0 + h) − f (x0 ) = ∞. h→0 h l´ ım Si ni i.) ni ii.) de la definici´n anterior secumple, entonces no existe recta tangente o a la gr´fica de f en el punto (x0 , f (x0 )). a Definici´n 3.8. Si la funci´n f es continua en x0 , entonces la recta normal a la gr´fica o o a de f en el punto (x0 , f (x0 )) es:
1 1. la recta LN : y = − f (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ), con f (x0 ) = 0 y

a 2. que es perpendicular a la recta tangente a la gr´fica de f en el punto (x0 , f (x0 )). Ejemplo 3.9.Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gr´fica de a 1 2 f (x) = 2x − 8x + 5 en el punto P donde la pendiente de la normal es − . 4 Ejemplo 3.10. Determinar la ecuaci´n de la recta que pasa por (0, 2) y es tangente a o 3 la gr´fica de f (x) = 2x − 5x + 6. a Ejemplo 3.11. Hallar los puntos de la curva y = x3 + x donde la recta tangente es paralela a la recta y = 4x. Ejemplo 3.12.Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = 2x3 + 1 4x2 − x que tengan pendiente . 2

3.4.

Derivadas laterales. Derivada y continuidad

Definici´n 3.13. Una funci´n f de dice que es diferenciable en un intervalo abierto o o ]a, b[ si lo es en todos los n´meros de ]a, b[. u Tambi´n se consideran funciones que son diferenciables en un intervalo infinito ]a, +∞[, e ]−∞, a[ obien R. Para extender la noci´n de diferenciabilidad a un conjunto, se neceo sitar´ el concepto de derivada lateral. a Definici´n 3.14. Si la funci´n f est´ definida en x0 , entonces o o a a 1. la derivada por la derecha de f en x0 , denotada f+ (x0 ), est´ definida como ım f+ (x0 ) = l´ +
h→0

f (x0 + h) − f (x0 ) h

(3.2)

2. la derivada por la izquierda de f en x0 , denotada f− (x0 ), est´...