Derivadas


Unidad IV

D e r i v a d a s




























COMPETENCIAS ESPECIFICAS A DESARROLLAR:
Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variación de una variable con respecto a otra.

Reconocer el concepto de incremento de una variable.
Reconocer el cociente de incrementos de dos variables como una razónde cambio.
Reconocer a la derivada como el límite de un cociente de incrementos.
Calcular la derivada de funciones algebraicas, regla de la cadena.
Interpretar geométricamente la derivada. Determinar que el valor de la pendiente de la tangente a una curva en un punto se puede obtener calculando la derivada de la función que corresponde a la curva en dicho punto.
Calcular las derivadas defunciones trascendentes.
Calcular derivadas de orden superior.
Aplicar la Regla de L´Hopital para el cálculo de límites indeterminados de funciones.
Derivada de funciones implícitas.







En esta unidad se investiga como varía el valor de una función al variar la variable independiente, y como el Problema Fundamental del Cálculo Diferencial es el de establecer con toda precisión unamedida de esta variación. Se aplica la regla general de la derivación y se analiza la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de una recta tangente a la gráfica de una función; posteriormente se aplican las Reglas para Derivar Funciones Algebraicas y Funciones Trascendentes

4.1 CONCEPTO DE INCREMENTO DE UNA VARIABLE Y DEL COCIENTE DE INCREMENTOS DE DOS VARIABLES COMO UNA RAZÓN DECAMBIO.

El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de la variable se representa por el símbolo , que se lee “delta de ”, el incremento puede ser positivo o negativo, según que la variable aumente o disminuya, (algunos le llaman decremento, sin embargo en el curso se expresa comoincremento negativo).


El incremento de es igual al cambio del valor de a .

El incremento de es igual al cambio del valor de a .
Si representan una función, el incremento de la función se como:


Indica el incremento correspondiente de la función .

Indica el incremento correspondiente de la función .

Indica el incremento correspondiente de la función .

Si la variable cambiade 9 a 12, entonces , , entonces
Si la función , y cambia de 9 a 12, entonces se tiene:




Cuando aumenta, la función aumenta, y la función decrece cuando disminuye. Si los valores correspondientes de y tienen el mismo signo cuando y aumentan; si la variación es contraria, uno aumenta y el otro disminuye, entonces y tienen signos contrarios.

Ejercicio 4.1
Completar lasiguiente tabla, según los valores y funciones dadas.

Valor inicial de
Valor final de
Incremento
Función
Valor inicial de
Valor final de
Incremento
1.1
1.8





1.2
2.5





2.3
3.7





3.4
4.2





4.5
5.1






El cociente de incrementos de dos variables como una razón de cambio se obtiene a partir del incremento de una función; una funcióncontiene dos variables, variable independiente y variable dependiente.
Considere la función :

Un incremento en la variable independiente expresa un incremento en la variable dependiente o función , es decir:


Réstese la función inicial;




Se ha determinado el valor del incremento en función de , para obtener la razón de los incrementos se despeja de la última expresión:Entonces si aplicamos el límite cuando el incremento tiende a cero, se tiene:










TRABAJO DE INVESTIGACION 4.1
REALIZAR UNA TABLA CON LAS FÓRMULAS BÁSICAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS Y
ENUNCIAR EN PALABRAS LA REGLA CORRESPONDIENTE.
Por ejemplo:

FÓRMULA DE DERIVACIÓN
ENUNCIADO DE LA REGLA
1)

La derivada de una constante es cero
2)

La derivada de una variable...