derivadas

Derivada Direccional
Operador NABLA
⃗

(

)

Gradiente
(

Dado

)
⃗
⃗

(

)

(

)

Divergencia
Dado

(

)
⃗

(

) (

(

)

)

Rotacional
Dado

(

)
⃗|
|

(

(

)

|
|

)

Laplaciano
⃗

⃗

⃗

(
⃗

Dado

(

) (

)

(

)

(

)

)
⃗

⃗

(

)

Ecuación de Laplace
⃗
(

)

Derivada Direccional
Si es una función diferenciable de
en la dirección de ⃗ es:
⃗

(

)

, la derivada direccional de (
⃗ (

)

) ⃗

Es la derivada en la dirección de un vector específico que nos pidanencontrar.
 Si

(

es una función diferenciable de
) en la dirección de ⃗ es:
⃗

(

)

⃗ (

, la derivada direccional de
) ⃗

Observación:
Sea el ángulo entre ⃗ y el vector unitarioen la dirección en la que
queremos sacar ⃗ ( ⃗ ):

⃗

‖⃗ (

(

)

)

(

⃗

⃗ (

(

⃗

‖⃗ (
)

‖⃗ (

)‖

) ⃗
)‖‖ ⃗ ‖

‖⃗ (

)‖

‖⃗ (

)‖

)‖

Así, laderivada direccional tiene su máximo valor cuando
, es decir,
cuando el gradiente de (⃗ ) y el vector ⃗ están en la misma dirección.
Si
, es decir si ⃗ tiene dirección opuesta a ⃗ pero en la misma rectade
acción, la derivada direccional tendrá su mínimo valor.
Ejercicios
Sea u  2 x 2 y  y 2  xz  z 2
Determinar:

a) grad u
b) Ecuación de Laplace


  
a) grad u  u   , ,  2x 2 y  y 2  xz  z 2
 x y z 






2
2
2
2
2
2
2
2
2
grad u  
 x 2 x y  y  xz  z ; y 2 x y  y  xz  z ; z 2 x y  y  xz  z


grad u = (4 xy  z , 2 x2  2 y ,  x  2z )

ˆ
ˆ
grad u = (4 xy  z )i + (2 x 2  2 y) ˆ + (2 z  x)k
j







 

 







 2 2 2 
b)  2 u   2 , 2 , 2  2 x 2 y  y 2  xz  z2
 x y z 


2


2
2
 2 u  2 2 x 2 y  y 2  xz  z 2 , 2 2 x 2 y  y 2  xz  z 2 , 2 2 x 2 y  y 2  xz  z 2
x
y
z
2
 u  ( 4 y , 2 , 2)
4y+2+2=0





...