derivadas

Derivadas de orden superior
Si  es una función diferenciable, es posible considerar su función derivada como: 
 para  en el dominio  de . 
Si para algunos valores  existe el  se dice que existela segunda derivada de la función  que se denota por  o , que equivale a. O sea, la segunda derivada de la función  se obtiene derivando la primera derivada de la función. 
Ejemplos: 
1.Si  entonces: 
 y 
 
2. Si  entonces: 
 y derivando nuevamente 
 
 
 
Por tanto  
Similarmente podemos decir que la derivada de  respecto a "x" es la tercera derivada de  respecto a "x" que se denota  o . La derivada de la tercera derivada es la cuarta derivada  y así podríamos continuar sucesivamente hasta la enésima derivada de  que se denota por o . Generalmente se habla del orden de la derivada;así la primera derivada es la derivada de primer orden, la segunda es la de segundo orden, la enésima derivada es la derivada de orden n. 
Ejemplos: 
1. Determinar , donde  
Solución: 
Obtenemosprimero  
 
Luego: 
 y se tiene que: 
 
2. Determinar  
Solución: 
Se tiene que: 


 
Por último: 

 
3. Si  determinar . 
En este caso debemos dar una forma general para la derivada deorden n, partiendo de las regularidades que se presentan en las primeras derivadas que calculemos. 
Así: 
 
 
 
 

 
.
.
     
. 
4. Obtener . 
Solución: 
Ejercicio para el estudianteUna aplicación de la segunda derivada 
Anteriormente hemos estudiado que si  nos indica la distancia de una partícula al origen en un tiempo , entonces  es la velocidad en el tiempo . 
Al calcular laderivada de la velocidad respecto al tiempo, es decir, al calcular  se obtiene la aceleración instantánea en el tiempo . Si denotamos esta aceleración por  se tiene que , es decir, la aceleración esla segunda derivada de la distancia respecto al tiempo. 
Ejemplo: 
Sea , la ecuación que determina la distancia en el tiempo (en segundos) de una partícula al origen en un movimiento rectilíneo....