derivadas

derivadas
dominio
Lineal
DOM= REALES

Cuadrática
Polinómica
Exponencial
Raiz impar
Homográfica: y= f(x) g(x)¹ 0
g(x)
Logaritmo:
y= lnf(x) f(x)>0
Raiz PAR:
y= Ö f(x) f(x)³ 0
Calcular los Puntos Criticos
Se halla f´(x)
Se iguala f´(x)=0
Crecimiento Y Decrecimiento
(Bolzano)
Se despeja x = PC
Se toma el Dominio de f´(x)
Se corta con los PC
Se le asigna un valor a cadaintervalo que se reemplaza en f´(x)
Extremos (máximos y mínimos)
Criterio de f´(x)
Si en Bolzano:
crece/decrece= P Máximo
decrece/crece= P Mínimo
2. Recta Tangente
f´(x)= pendiente de la recta tg
y= f´(x0 ) (x- x0 ) + f(x0 ) ó y= mx+b
Integral Inmediata
a)ò [f(x)+g(x)-z(x)] dx =
b)ò f(x)dx + ò g(x) dx - ò z(x) dx
a)Integro (+C)
3. Metodo de substitucion o cambio de variables
Si en tuejercicio hay: (LEPRD)
a) Un Logaritmo u= al logaritmo
Una Exponencial u= al exponente
Una Potencia u= a la base
Una Raiz u= a lo de adentro
Una División u= al denominador
Ejemplo:
ò 3x2 – 1
Ö x3 - x
U= x3 –x
Identifico U (LEPRD)
Du= 3x2 –1 dx
Calculo el DU (derivo u) por dx
du = dx
3x2 –1
Igualo a 0
ò 3x2 – 1 du = ò 1 du
Ö u 3x2 – 1 Ö u
Sustituyo en la fórmula original:
ò 1 du= (tabla) 2Ö u +C
Ö u
Integro
Sustituyo
2Ö u +C = 2 Ö x3 –x + C
4. Metodo de integración por partes
ò u.dv = uv - ò v.du
(ejercicio) (solución)
El problema es saber a qué llamar u y dv en el ejercicio (ALPET)
Arcos
Logaritmo
Potencia
Exponencial
Trigonometrica
PARA U
Si tenés 2 potencias, u a la que tenga exponente entero +
Ejemplo:
ò x2 ex dx
Defino U(en este caso, lapotencia)
U= x2
(derivo)
Du= 2x dx
Y dv
Dv= ex dx
(integro)
V= ex
uv - ò v du
x2 ex -ò ex 2x dx
(por propiedad, k sale de la integral) x2 ex -2 ò ex x dx
No esta en tablas, vuelvo a integrar por partes
Identifico u y dv
u= x (derivo) dv= ex dx (integro)
du= dx v= ex
x ex -ò ex dx
(en el resultado anterior)
x2 ex -2 [ x ex -ò ex dx] (integro)
x2 ex -2 [ x ex - ex ] + C
El numero de lapotencia me indica cuantas veces debo integrar por partes!!
5. Cíclicas
Se forma con una exponencial o logarítmica y una trigonométrica
Ej: ò e2x cos 3x dx
Se resuelve por sustitución
U= e2x (regla de la cadena) dv= cos 3x dx
du= 2 e2x v= sen 3x
sustituyo dos veces
ò e2x cos 3x dx= 3/13 1 e2x [sen 3x + 2/3 cos 3x] + C
Integrales de funciones compuestas con raices
Ejemplo:
ò cos Ö 2x+3dx
Z= Ö 2x+3 dx
Sustituyo
Z2 –3= x2
Despejo x
Derivo
Z dz = dx
d) Resultado: ò cos z. z dz
(Partes)
u= Z dv= cosz dz
du= dz v= sen z
uv-ò v du
z sen z -ò senz dz
(Integro
z sen z+ cos z +C
Ö 2x+3 sen Ö 2x+3 + cos Ö 2x+3 + C
Integral definida. Regla De Barrow
ò a f (x) dx = ½ F(b x) ½ a = f (b) – F(a) Û b>a
b b
ò a f(x) dx = - ò a f (x) dx
b b
Ejemplo ò 1 ex dx
0 5+7 ex(Substitución) u= 5+7 ex du= ex dx du = dx
7 ex
ò 1 ex du Þ 1 ò 1 1 dx Þ 1 ln u = ½ 1 ln (5+7 ex)½ 1Þ 1 ln (5+7 ex) –1 ln 12½ 1
0 5+7 ex 7 0 u ex 7 7 0 7 7 0
6. Calculo de areas
Area = ò a techo-piso Þ ò a f(x) – g(x)
b b
Si en algún lugar cambian el techo o el piso divido el area, resuelvo por separado y luego sumo Area total= A1 + A2
Areas trigonométricas, por cada Õ cuento 1 area!!
Si nose cual es el techo y cual el piso,
a) Igualo f(x)=g(x) b) Límites por integración
Tips
Una funcion es derivable si:
a) es continua b) es suave (don de hay picos no hay una única tangente)
En los puntos de inflexión la F´(x):
a) f´(x)= o b) NO TIENE max. ni min.
c) Puntos Críticos: NO existe la derivada pero si la funcion (no F´(x)pero si F(x))
Mínimos/Máximos:
a) Absolutos b) RelativosSi el dominio de la derivada >0, en Bolzano usaré dichos valores.
Si la derivada es positivaÞ recta tg +Þ pendiente+= se grafica creciente
Si me falta el dato "y", resuelvo la f(x).
Si se puede simplificar, entonces se podia hacer factor común
Ln 0 no existe la exponencial es siempre +
Derivada segunda para saber máximos
Exponenciales: Nunca vale ceroÞ Es siempre crecienteÞ Nunca se anula....