derivadas

REPASO

1

REPASO
DERIVADAS E INTEGRALES
A.

DERIVADA
La derivada de una función y = f(x) con respecto a x en un punto x = x0, se define por el límite:

Lim

∆x → 0

f (x 0 + ∆ x ) −f (x 0 )
∆y
= Lim
∆x
∆x ∆x → 0

Siempre que exista

EJEMPLO 1:
Hallar la Derivada de y = f(x) = x2 + 3x, con respecto a x en un punto x = x0.

y 0 = f (x 0 ) = x 0 + 3 x 0
2

y 0 + ∆y =f (x 0 + ∆x ) = (x 0 + ∆x ) + 3 (x 0 + ∆x )
2

y 0 + ∆y = x 0 + 2 x 0 ∆x + ∆x 2 + 3 x 0 + 3 ∆x
2

∆y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) = x 0 + 2 x 0 ∆x + ∆x 2 + 3 x 0 + 3 ∆x − x 0 − 3 x 0
2

2∆y = 2 x 0 ∆x + ∆x 2 + 3 ∆x

∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) 2 x 0 ∆x + ∆x 2 + 3 ∆x
=
=
= 2 x 0 + ∆x + 3
∆x
∆x
∆x
La derivada en el punto x = x0 es:

Lim

∆x → 0

∆y
= Lim (2 x 0 + ∆x + 3)= 2 x 0 + 3
∆x ∆x → 0

EJEMPLO 2:
Hallar la Derivada de

y = f (x ) =

1
x−2

y 0 = f (x 0 ) =

1
x0 − 2

y 0 + ∆y = f (x 0 + ∆x ) =

DERIVADAS E INTEGRALES

1
x 0 + ∆x − 2JCML

REPASO

2

∆y = f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 ) =
∆y =

∆y f (x 0 + ∆x ) − f (x 0 )
=
∆x
∆x

1
1
−
x 0 + ∆x − 2 x 0 − 2

− ∆x
(x 0 + ∆x − 2) (x 0 − 2)

− ∆x
(x + ∆x − 2) (x 0 −2)
−1
= 0
=
(x 0 + ∆x − 2) (x 0 − 2)
∆x

La derivada en el punto x = x0 es:

Lim

∆x → 0

B.

−1
−1
∆y
=
= Lim
∆x ∆x →0 (x 0 + ∆x − 2 ) (x 0 − 2 ) (x 0 − 2 )2

DIFERENCIALES.Dada la función y = f(x), se define:
a.
b.

dx, diferencial de x, por la relación dx = ∆x.
dy, diferencial de y, por la relación dy = f’ (x) dx.

La diferencial dy, se puede hallar aplicando sufórmula de definición, o bien por medio de las
reglas de cálculo de derivadas. Algunas de estas son:

d(c ) = 0
d(cu) = c du

d(u • v ) = u • dv + v • du
⎛ u ⎞ v • du − u • dv
d⎜ ⎟ =
v2
⎝v⎠d(sen u) = cos u du
d(Ln u) =

du
u

Etc.
Las demás formulas fundamentales de derivación, se entregaran en una tabla, las cuales
pueden ser utilizadas en las pruebas correspondientes....