Derivadas

Semana 14-Derivadas I[1/29]

Derivada

7 de junio de 2007

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Semana 14-Derivadas I[2/29]

Introducción
Introducción

P f Q

Consideremos el gráfico de una función f con dominio R. Sea P = (x0 , y0 ) un punto del gráfico de f y sea Q = (x1 , y1 ) un punto móvil por el gráfico de f . La ecuación de la secante que pasa por P y Q es: f (x1 ) − f (x0 ) y − y0 = (x −x0 ). x1 − x0 Si consideramos el caso límite cuando x1 → x0 , la recta se trasforma en la recta tangente que pasa por P, y su ecuación es: f (x1 ) − f (x0 ) y − y0 = lim (x − x0 ) x1 →x0 x1 − x0 El término entre paréntesis cuadrados se denomina derivada de la función f en x0 y representa a la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x0 .
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Semana 14-DerivadasI[3/29]

Función Diferenciable en x0
Observación
Para poder estudiar la existencia del límite ya mencionado, es necesario que x0 ∈ Domf y que f esté definida en torno a x0 . Para evitar complicaciones, sólo estudiaremos la derivada de funciones en puntos x0 que estén completamente incluidos en el dominio de f y que satisfagan la relación ∃δ > 0, tal que (x0 − δ, x0 + δ) ⊆ Dom(f ). Los puntosque satisfacen esta propiedad se llamarán puntos interiores al domino de f y los anotaremos diciendo que x0 ∈ IntDom(f ).

Definición
Sea f : A ⊆ R → R, diremos que f es derivable o diferenciable en x0 ∈ IntA si y sólo si el límite lim existe. En tal caso, el valor del límite se denominará derivada de f en x0 y se denotará por f (x0 ).
f (x0 +h)−f (x0 ) h h→0

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Ejemplos
1

f (x) =

√

x en x0 = 4 f (4 + h) − f (4) = lim f (4) = lim h→0 h→0 h √ √ √ 4 + h − 2 [ 4 + h + 4] h 1 √ = lim √ √ = · √ h 4 [ 4 + h + 4] h→0 h[ 4 + h + 4]

2

f (x) =

√ 3

x en x0 = 0 √ 3 f (0) = lim
h→0

h−0 1 = lim √ = ∃ 3 h→0 h h2

3

f (x) = |x|
i) x0 > 0 ⇒ f (x0 ) = lim ii) x0 < 0 ⇒ f (x0 ) = lim iii) x0 = 0 ⇒ f (0) = lim
h→0 h→0|x0 +h|−|x0 | h |x0 +h|−|x0 | h

=1 = −1

|h| h→0 h

=

1 si h → 0+ = ∃. −1 si h → 0−

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Función Derivada
Función derivada
Sea f una función, entonces la función tal que: x → f (x) se llama función derivada de f y se denota por f .

Observaciones
1

Si y = f (x) entonces f suele denotarse también como (x) f (x), y , dy (de y ade x) o dfdx dx Las dos últimas notaciones se llaman notación de Leibnitz. El dominio de f y f no necesariamente coiciden, por ejemplo: Si f (x) = |x| entonces Domf = R y Domf = R \ {0}. En general se cumple Domf ⊆ Domf . Si una función es derivable en el punto x0 entonces el límite limx→x0 f (x) existe y vale f (x0 ). En efecto, basta observar que f (x) = f (x) − f (x0 ) · (x − x0 ) + f (x0 ), x −x0 ∀x = x0 .

2

3

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Cálculo de algunas derivadas
1. f (x) = c =cte.⇒ f (x) = 0. 2. f (x) = x n con n ∈ N. (x + h)n − x n . h→0 h
n n ( k )x n−k hk , por lo tanto

f (x) = lim

Pero por el Binomio de Newton tenemos que (x + h)n =

k =0

(x + h)n − x n f (x) = lim h→0 h n n = lim ( )x n−k hk −1 h→0 k
k =1 n

= lim

h→0nx

n−1

+
k =2

n ( )x n−k hk −1 k

= nx n−1 . Luego f (x) = (x n ) = nx n−1 .

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Cálculo de algunas derivadas
3. f (x) = x −n con n ∈ N (x + h)−n − x −n h→0 h 1 1 1 lim − n n h→0 h (x + h) x n 1 x − (x + h)n lim h→0 h (x + h)n x n (x + h)n − x n 1 − lim · h→0 h (x + h)n x n 1 −nx n−1 2n x −nx −n−1 .

f (x) = lim = = = = =Luego f (x) = (x −n ) = −nx −n−1 .

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Cálculo de algunas derivadas
4. f (x) = √ n x con n ∈ N √ n f (x) = lim Sean a = Con esto: √ n x, k = √ n
h→0

x +h− h

√ n

x

.

x + h − a entonces h = (a + k )n − an . √ x + .h − n x lim h→0 h k lim k →0 (a + k )n − an 1 , donde g(x) = x n g (a) 1 nan−1 1 1−n a . n √ n

f (x) = = = = =...