Derivadas

DERIVADAS
 
Tema: La derivada como pendiente de una curva
Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
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La pendiente de la curva en el punto P es la pendiente de la recta tangente en P.
 
Definición: La pendiente de una curva
 
En (x,f(x)) la pendiente m de la gráfica de y = f(x) es igual a la pendiente de surecta tangente en (x,f(x)) y queda determinada por la fórmula:
 
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supuesto que el límite exista.
 
Para calcular la pendiente de la recta tangente a una curva mediante la definición de límite seguimos los siguientes pasos:
 
1) Calcular :
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2) Hacer
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para obtener
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Ejemplo para discusión: Considera la gráfica de y = 3 - x2.
1) Halla la fórmula de la pendiente dela gráfica.
2) Indica cuál es la pendiente en los puntos (0,3) y (-2,-1).
3) Halla la ecuación de la recta tangente para cada uno de los puntos anteriores.
 
Nota: Algunas curvas puede que no tengan tangente en cada punto.
 
Definición: El límite
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se llama derivada de f en x (supuesto que el límite existe) y se denota por f’(x).
 
La notación f’(x) se lee "f prima de x". También seusa mucho la notación:
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que se lee " la derivada de y respecto a x".
 
Nota: Una función es derivable en x si existe su derivada en x.
 
Ejemplos para discusión: Halla la derivada de:
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Nota: En cualquier punto donde la tangente es vertical, la pendiente es infinita; la derivada, por tanto, no existe.
 
 
Tema: Reglas de Derivación
Ya hemos calculado derivadas a través de ladefinición de la derivada como límite. Este procedimiento resulta en muchas ocasiones largo y tedioso.
Existen varias reglas que nos permiten calcular la derivada sin usar directamente los límites.
 
Regla de las constantes: La derivada de una función constante es cero. Esto es, si f(x) = c, para alguna constante c, entonces f’(x) = 0.
 
Ejemplos:
 
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Regla de las potencias: Sif es una función diferenciable y f(x) = xn, entones
f’(x) = nxn-1, para cualquier número real n.
 
Ejemplos:
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Regla del producto por un escalar: Si cf(x) es una función diferenciable, entonces
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Ejemplos:
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Regla de la suma: La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas. Esto es, si f y g
son funciones direrenciales, entonces :
[pic] Ejemplos: Deriva las siguientes funciones y evaluarla en los casos indicados.
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Ejercicio: Halla la derivada de:
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Tema: Derivadas de orden superior
 Como la derivada de una función es otra función, entonces podemos tratar de hallar su derivada. Si hacemos tal cosa, el resultado es de nuevo una función que pudiera ser a su vez derivada. Si continuamos así una y otra vez, tenemos loque se conoce por derivadas de orden superior.
 
Por ejemplo, si f(x) = 6x3 - 5x2, entonces la:
 
primera derivada es : f’(x) = 18x2 - 10x
segunda derivada es: f"(x) = 36x - 10
tercera derivada es : f’’’(x) = 36
cuarta derivada es : f(4)(x) = 0
.
n-ésima derivada es : f(n) (x) = 0
 
Ejemplos para discusión:
 
1) Si f(x) = -x4 + 2x3 + x + 4, halla f’’’(-1).
 
2) Halla las primerascuatro derivadas de :
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Nota: Si f’(x) representa la pendiente de la gráfica de f, entonces f"(x) representa la pendiente de la gráfica de f’. Así también, f’’’(x) representa la pendiente de la gráfica de f".
 
  
Tema: Velocidad y Aceleración
 
Definición: Si s(t) representa la función posición de un objeto en el tiempo t que se mueve a lo largo de un recta, la velocidad del objeto enel instante t, está dada por:
 
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Ejemplo: Un objeto se mueve a lo largo de una recta de acuerdo con la ecuación
s(t) = 2t2 - 12t + 10, donde s se mide en pies y t en segundos.
 
1) Completa la tabla de valores e ilustra en una recta numérica el movimiento del objeto.
 
|t |s(t) |
|0 |  |
|1 |  |
|2 |  |
|3...