Derivadas

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ANALISIS MATEMATICO I - MATEMATICAS - UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
DERIVABILIDAD Y EXTREMOS
1.- Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones y hallar f (x), f (x), donde sea
posible.
x2 ,si x ≤ 0
a) f (x) = |x|
b) f (x) =
c) f (x) = |x|3 .
−x2 , si x > 0
2.- Hallar y , simplificando si es posible, en los siguientes casos:
sen x + cos x
a) y =
b) y = log(x + x2 + 1)
sen x − cos x

g) y =arc tg
i) y = arc sen

e) y = log

1−x
1+x
sen a sen x
1 − cos a cos x

1 − cos x
1 + cos x

h) y = log

x2 − 1)

d) y = log(x +

c) y = (x2 + 1) arc tg x

1
2x + 1
x2 + x + 1 − √ arc tg √
3
3

j) y= x arc sen x +

f) y = y = x1/ log x

1 − x2

3.- Hallar el n´mero de soluciones reales que tienen las siguientes ecuaciones y dos enteros
u
consecutivos entre los que se encuentra cada soluci´n:
oa) 3x5 + 15x − 8 = 0

b) 2x3 − 9x2 + 12x = −1

c) x5 − 5x = 1

d) 3−x = x

e) ex = 1 + x

f) x5 + 2x + 1 = 0

4.- Demostrar las siguientes desigualdades:
x3
x3
a) x −
< arc tg x < x − , x ∈ (0, 1]
3
6x
c)
< log(1 + x) < x, x > −1, x = 0
1+x
e) tg x > x +
g) x −

x3
,
3

x ∈ (0, π/2)

x3
< sen x < x,
6

b) ex > ex,

x=1

d) 2x < sen 2x + tg x,
f) ex ≥ 1 + x +

x2
,
2

x ∈ (0, π/2)
x≥0

x>0

5.-Demostrar que arc tg x − arc tg y < x − y , si x > y . Deducir que la funci´n arc tg es
o
uniformemente continua en R.
π
6.- Probar que arc sen x + arc cos x = para todo x ∈ [−1, 1].
2
1
7.- Probar quearc cos √
= arc tg x para todo x ≥ 0. ¿Y si x < 0?
1 + x2
8.- Sean f, g : [0, 1] −→ R continuas en [0, 1], derivables en (0, 1), con f (0) = 0, g (0) = 2
y |f (x)| ≤ 1, |g (x)| ≤ 1 para todo x ∈ (0,1). Probar que f (x) ≤ g (x) para cada
x ∈ [0, 1].

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ANALISIS MATEMATICO I - MATEMATICAS - UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA
9.- Calcular los siguientes l´
ımites:
log x
= 0 (ε > 0)
a) l´
ım
x→+∞ xε
c) l´ım

x→0

ctg x
1
−
2
x
x
tg x

e) l´ (log ctg x)
ım
x→0+

g) l´
ım

x→0

log(x +

1
√

=

b) l´ + xa log x = 0
ım

1
3

d) l´ (2 − x)tg(πx/2) = e2/π
ım
x→1

f) l´ x1/(1−x) = 1/e
ım

=1

1 + x2 )...