Derivadas

TRABAJO PRÁCTICO 4

1) Para la siguiente gráfica calcular:


|[pic] |[pic] |



2) En la gráfica dada de f marcar f(2), f(2+h),f(2+h)-f(2) y h. Tomar h > 0.
¿Cuál recta tiene la pendiente [pic] ?









3) Dibujar el gráfico de las siguientes funciones y encada caso dar una interpretación geométrica del número [pic]
a) [pic]
b) [pic]

4) (T) ¿Es cierto que si una función es derivable en x = c, es continua en x = c? ¿Vale el recíproco?

5) Cada límite representa la derivada de alguna función f, en algún número a. Establecer f y a en cada caso.
[pic][pic]

[pic]

6) En los siguientes incisos calcular la derivada por definición:
[pic]7) (T) a) Demostrar que si f y g son derivables la derivada de la suma es la suma de las derivadas. ( Es decir: (f(x) + g(x)) ´ = f ´(x) + g ´(x) )
(T) b) Demostrar que si f es derivable entonces (c.f(x)) ´ = c. f ´(x) con c perteneciente a los reales.

8) Para cada una de las siguientes funciones, graficarla y también calcular y graficar la recta tangente en el punto P dado (coordenada x =[pic]). Obtener la pendiente de las rectas secantes que pasan por los puntos que corresponden a los valores de [pic] y [pic] indicados. Comparar las tres pendientes y concluir.
a) [pic] b)[pic]

9) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto indicado. (Para el cálculo de las derivadas hacerlo con propiedades no por definición) En los incisos a) d) y f) calculartambién la recta normal.
[pic]

10) Hallar una ecuación de la recta que es tangente a la gráfica de f y paralela a la recta dada
[pic]


11) a) Encontrar los puntos de la curva [pic] donde la inclinación de la recta tangente es de 45º.

b) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 que pase por el punto (0,2). Determinar el punto de tangencia.

12) Determinar en cada caso lao las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada
por el punto indicado. (Verificar que el punto no pertenece a la curva):

[pic]


13) Considerar la gráfica de la función [pic] (donde a y b son constantes.
Hallar los valores de a y b de manera que la recta y = 2x, sea tangente a ésta gráfica
en el punto (2, 4)

14) Hallar los puntos en los cuales la tangente a al curva [pic], esperpendicular a la recta [pic]Determinar las ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a dicha curva en los puntos encontrados

15) Dadas las curvas [pic], obtener las ecuaciones de las rectas que son simultáneamente tangentes a ambas.

16) Determinar los valores x para los que la función es derivable. En los puntos donde no es derivable explicar que es lo que ocurre.[pic]



17) Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones:

a) [pic] b) [pic] c) [pic]



18) Hallar A y B para que la derivada de la función f(x) sea continua en R. Calcular [pic]
donde sea posible. [pic]





19) Calcular las derivadas de las siguientes funciones
[pic]
[pic]


20) En los siguientes ejercicios: a) Hallar dos funciones explícitas despejando y entérminos de x, b) dibujar la gráfica de la ecuación indicando la parte que corresponde a cada una de esas dos funciones, c) derivar las funciones explícitas, d) hallar [pic] implícitamente y probar que el resultado es equivalente al de la parte c).
[pic]



21) En los siguientes ejercicios probar que las gráficas de las ecuaciones son ortogonales en los puntos de intersección.(dos gráficas sonortogonales en un punto de intersección si sus rectas tangentes en ese punto son perpendiculares)
[pic]

22) Verificar que la función y(x) satisface la ecuación diferencial [pic], sabiendo que y(x) cumple la relación [pic]


23) Calcular las siguientes derivadas:
[pic]

24) Hallar la derivada segunda de:
[pic]

25) (a) Sea [pic]
Calcular las derivadas sucesivas de P(x). ¿Cuál...