Derivadas

3. DERIVADAS PARCIALES
 
Si y = f(x) es una función de una variable. Su primera derivada
(1)
se interpreta como la razón de cambio instantanea de y con respecto de x.
Para una función z = f(x,y) de dos variables, se comprende que de manera analoga la razón con la que cambia al variar x y y (ya sea de manera individual o simultaneamente).
La razón de cambio de z con respecto de x, seobtiene dejando fija a y y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y)
(2)
 
Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto de y en el punto (a, b), se obtiene dejando fija a x ycalculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y) donde x = a es constante se denota como
(3)
Algunas otras notaciones comunes para las derivadas parciales son:
(4)
Observemos que sieliminamos la variable y de la ecuación (2), tendriamos el límite de la ecuación (1). Esto significa que podemos calcular (2) como una derivada ordinaria con respecto de x, considerando a y como constantedurante el proceso de derivación . De manera similar, podemos calcular (3) como una derivada ordinaria, tomando a y como la única variable y tratando a x como una constante durante el cálculo.
 Reglapara hallar derivadas parciales de z = f(x, y)
Para hallar Dx, considere y como constante y derive f(x,y) con respecto a x
Para hallar Dy, considere x como constante y derive f(x,y) con respectoa y

Ejemplo 1. Si 
Solución Conservando y constante y derivando con respecto a x, obtenemos

 
Conservando a x constante y derivando con respecto a y, obtenemos


Ejemplo 2. Si Solución tenemos que la derivada de la función es de la forma d( f ) =d( U V )


Ejemplo 3. Si evalue la pendiente en dirección de x en el punto (0,2)
Solución tenemos que la derivada de la función es de laforma d( f ) =d( U / V )

 

DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN
Cuando diferenciamos dos veces una función, producimos sus derivadas de segundo orden. Estas derivadas son usualmente denotadas...