Derivadas

PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS
1.-fx=3x4+4x3+6x2-4
Solución:
Puntos críticos: fx=2x3+12x2+12x=0→12xx2 + x+1=0→x=0
Crecimiento: decrece: x ɛ -∞,0 ; crece: x ԑ 0,∞
Extremos relativos: f`(x)=36x2 + 24x+12=0
X=0 → f’’(0)= 12>0 x=0 es minimo relativo
Concavidad: f’(x)=0 → 3x2 +2x + 1=0 no hay raíces
fx es cóncavo hacia arriba enx ԑ R


Intervalos | F’’ | crecimiento | Extremos | F’’ | concavidad |
| - | decrece | X=0 Minimo | + | U |
< 0,∞ > | + | crece | | + | U |

GRAFICA:
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
F(x) | 185 | 36 | 1 | -4 | 9 | 180 |Y

-2 X
-4

2.- fx=x4-4x3+16x
Solución: fx=4x3-12x3+16=0→x3-3x3+4→x-22x-1=0
X=2(mult.par) x=1
__ +-1 2
Crecimiento: decrece: x∈ ;
Extremos relativos: f “(x)=12x2-24x=0
X=-1 → f”(-1)=36 > 0 x=0 es minimoX=2 → f”(2)=0 x=0 punto de inflexión
Concavidad: f”(x)=0 → f”(2) = 0 → 12x(x-2)= 0 → x=0 , x=2
Cóncavo hacia arriba: xϵ
Cóncavo hacia abajo: xϵ
Intervalos | f | Crecimientos | extremos | F” | concavidad |
| - | Decrece | X=-1 | + | |
| + | Crece | minimo | + | |
| + | Crece | | - | |
| + | Crece | | + | |

3).- f(x)=x2(x+4)3Solución:
Dominio: D={x∈R}
Primera derivada:
f(x)=x2(x+4)3 → df(x)dx= 2x(x+4)3 +3x2(x+4)2 =0
x(x+4)22x+4+3x →x=0 ; x = -4(mult.par) x =- 85
crecimiento: crece: x ∈ U ; decrece: x∈
extremos relativos (segunda derivada):
f’(x)= (x+4)2 (5x2 + 8x )
f’’(x)=2(x+4)(5x2 + 8x) + (x+4)2(10x+8)=0
x+4=0 ν 5x2 + 8x + (x+4)(5x+4)=0
x=-4 v 10x2 + 32x + 16=0 → x= -4 ; x= -8-65 ;-8+65
x=0 → f’’(x)=128 >0 x=0 es mínimo relativo
x=-85→ f’’(85)= -1520.64 0 x= 0 es minimo relativo
Concavidad: f’’(x)=0 → 2x2- 3x +1 = 0 →x=1, x=12
Cóncavo hacia arriba : x ∈ U
Cóncavo hacia abajo: x ∈ (12,1)
Grafica:
X | -1 | -0.5 | 0.5 | 1.5 | 2.5 |
F(x) | 8 | 2.1875 | 14375 | 26875 | 119375 |

PARES:

2. Se debe construir una lata cilíndrica (con tapa) de manera que segaste el menor material posible. ¿Cuál debe ser la relación entre la altura y el radio de la base para que esto ocurra?
Área: A= 2πrh + 2πr2
Volumen: V= πr2 h h= vπr2
En la expresión del área: A= 2vr + 2πr2
Por condición de máximo, derivamos respecto a r:
dAdr= -2vr2 + 4πr= 0r= 3V2π h= Vπ . 34π2v2
hr= 32πV Vπ34π2V2
hr= 2 h= 2r
4. Un rectángulo tiene dos de sus vértices sobre el eje x los otros dos están respectivamente sobre las rectas y=x ; 4y+5x=20 .hallar el valor de y para que el área del rectángulo sea máxima.
Base del rectángulo
B=y- 20-4y5=9y-2054y+5x=20 y=x
Altura: h=y 9y2-20y
Área= b.h= y(9y-205)=15(9y2-20y1)
Derivamos: dAdY=15(18y-20)
y= 109

6.- si los lados de un rectángulo son a y b, demostrar que el rectángulo mas grande que puede construirse de manera que sus lados pasen por los vértices del rectángulo dado es un cuadrado de lado a+h2 .
SOLUCION:
Triangulo superior: a2=x2+y2⟹y=a2-x2
Triangulo...