Derivadas

Derivadas Parciales

Derivadas Parciales
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientesnotaciones equivalentes:

df/dx = dxf = f’x

Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...), es decir:
A = f (x, y, z,…)

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formadopor el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.

Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

Interpretación geométrica de la derivada parcial

Recordemos que lagráfica de representa una superficie . Si , entonces el punto está sobre la superficie . El plano vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza de la superficie sobre el plano . De manera semejante, el plano vertical interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan por el punto .
Observe que la curva es la gráfica de la función de manera que la pendiente de su rectatangente en el punto es La curva es la gráfica de la función así que la pendiente de su tangente en el punto es
En las ligas [Ver en 3D - LG3D], puede arrastrar el punto P sobre la curva C
| |
Fig1: derivada parcial en P respecto a x
| Fig1: derivada parcial en P respecto a y
|

Por consiguiente, las derivadas parciales y pueden interpretarse geométricamente como las pendientes delas rectas tangentes a las curvas y en el punto , respectivamente.
Las derivadas parciales pueden también ser vistas como razones de cambio. Si , entonces representa la razón de cambio de con respecto a , cuando permanece fija. De manera semejante, representa la razón de cambio de con respecto a , cuando permanece fija.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES EN ADMINISTRACION Y ECONOMIA
Enesta sección estudiaremos varias aplicaciones de las derivadas parciales en administración y economía, dentro de las cuales incluiremos el costo marginal, análisis marginal, la superficie de demanda, las funciones de producción, el teorema de euler, demanda marginal, elasticidad parcial d ela demanda, productividad marginal.
a) COSTO MARGINAL.- El costo marginal por unidad es la razón(instantánea) de cambio del costo total con respecto a la producción, esto es:
Costo Marginal = derivada del costo total

Si la función de costo de producir las cantidades x e y de dos bienes esta dado por: c = Q(x,y), entonces las derivadas parcial de c son las funciones de costo marginal, así:

NOTA.- En la mayor parte de los problemas económicos los costos marginales son positivos.

Ejemplo:
En lafunción de costo de producción dos artículos x e y es C=Q(x,y)=x2y2-3xy+y+8, determinar el costo marginal con respecto a x, y el costo marginal con respecto a y.
Desarrollo

Esto quiere decir, si y se mantiene constante 4, al producir una unidad adicional de x, agregara 84 unidades, la producción de una unidad adicional de y, aumentara 64 unidades monetarias al costo total.

b) ANALISISMARGINAL.- El término “análisis marginal” en economía, hace referencia a la práctica de usar una derivada para estimar el cambio en el valor de una función como resultado de un aumento en una unidad en una de sus variables (similar al caso de las funciones de una variable).

Ejemplo:
Supongamos que la producción diaria Q de una fabrica depende de la cantidad k de capital invertido (medido en...