derivadas

Código de Asignatura - 0390

MATEMÁTICA II

UNIDAD ACADÉMICA
CALETA OLIVIA

Unidad: III - Derivadas

Unpabimodal

2009

DERIVADAS
La noción de derivadas proviene de un concepto originado en un problema de geometría, el problema de hallar la
recta tangente a una curva en un punto. Aunque luego se vio que daba una herramienta para el cálculo de velocidad y
en general para elestudio de una función.

Tangentes
Si una curva C tiene ecuación y = f(x) y queremos hallar la tangente a C en el punto P(a, f(a)), entonces consideramos
un punto cercano Q(x, f(x)), donde x ≠ a y calculamos la pendiente de la recta secante PQ:

mPQ =

f ( x) − f (a)
x−a

En seguida acercamos Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a.
Observación: la recta tangente es laposición límite de la recta secante PQ cuando Q tiende a P.

Definición: La recta tangente a la curva y = f(x) en el punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con la pendiente

m = lim
x→a

f ( x) − f ( a )
x−a

siempre que exista éste limite.
Encontremos la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x , en el punto P(1,1).
Lo primero que debemos hacer es hallar el valor de lapendiente con la definición anterior.
2

m = lim
x →1

f ( x) − f (1)
x2 −1
= lim
y esto aplicando las propiedades de los limites que vimos anteriormente no
x →1 x − 1
x −1

da m = 2.
Sólo nos queda aplicar la forma punto-pendiente para hallar la ecuación de la recta.
Luego y − 1 = 2( x − 1) es la ecuación de la recta tangente para x = 1.
Existe otra expresión para la pendiente de larecta tangente que a veces es más fácil de usar. Sea
h=x–a
entonces
x=a+h
de modo que la pendiente de la recta secante PQ es

mPQ =

f ( a + h) − f ( a )
h

Unpabimodal

donde se ve en la gráfica el caso h>0 y Q está a la derecha de P.

Observación: cuando x tiende a a, h tiende a 0 y la expresión para la pendiente de la recta tangente queda,

m = lim
h →0

f ( a + h) − f ( a )h

f ´(a) , es
f ( a + h) − f ( a )
f ´(a ) = lim
h →0
h

Definición: La derivada de una función f en un número a, denotada con

si éste limite existe.
Encuentre la derivada de la función

f ( x) = x 2 − 8 x + 9 en el número a.

f ( a + h) − f ( a )
[(a + h) 2 − 8(a + h) + 9] − [a 2 − 8a + 9]
= lim
h →0
h →0
h
h
2
2
2
a + 2ah + h − 8a − 8h + 9 − a + 8a − 9
//
/ /
// //
= lim
h →0
h
2
/
h.(2a + h − 8)
2ah + h − 8h
= lim
= lim
= 2a − 8
h →0
h →0
/
h
h
f ´(a) = lim

Interpretación de la derivada como pendiente de una tangente
La recta tangente a y=f(x), en (a , f(a)), es la recta que pasa por (a , f(a)) cuya pendiente es igual a f´(a), la derivada de
f en a. Es decir, la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la rectatangente en el punto a.

Si usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, podemos escribir la siguiente “ecuación de la recta
tangente”:

y = f (a) = f ' (a )( x − a )

Encontrar la ecuación de la recta tangente a la función f ( x ) = x − 2 x + 3 en el punto (1,2).
Sabemos que la derivada de la función evaluada en el punto es la pendiente de la recta tangente entoncescalculemos
la derivada para luego evaluar.
3

2

Unpabimodal

f ' ( x) = 3 x 2 − 4 x entonces f ' (1) = 3(1) 2 − 4(1) = −1 .Ahora que encontramos la pendiente planteamos la
ecuación de la recta en el punto pedido.
Por lo tanto, y − 2 = ( −1)( x − 1) ⇒ y = − x + 3
Verifiquemos con el gráfico de la función y su recta tangente en el punto (-1,5)

Y claramente se observa que la recta encontradaes tangente a la gráfica de la función dada.

Interpretación de la derivada como una razón de cambio

x = x1 se define por el límite de las
razones de cambio en intervalos más y más pequeños. Si el intervalo es [ x1 , x2 ], entonces el cambio en x es
∆x = x2 − x1 y el cambio correspondiente en y es ∆y = f ( x2 ) − f ( x1 ) y
∆y
f ( x2 ) − f ( x1 )
La razón de cambio instantáneo = lim
=...