Derivadas

SECCIÓN 2.2

Reglas básicas de derivación y razón de cambio

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2.2

Reglas básicas de derivación y razón de cambio
■ ■ ■ ■ ■ ■

Encontrar la derivada de una función por la regla de la constante. Encontrar la derivada de una función por la regla de la potencia. Encontrar la derivada de una función por la regla del múltiplo constante. Encontrar la derivada de una función por lasreglas de suma y diferencia. Encontrar la derivada de las funciones seno y coseno. Usar derivadas para calcular razón de cambio.

y

La regla de la constante
La pendiente de una recta horizontal es 0 f(x) La derivada de una función constante es 0 c

En la sección 2.1 se usó la definición por medio de límites para calcular las derivadas. Ésta y las dos próximas secciones presentan varias “reglasde derivación” que permiten calcular las derivadas sin el uso directo de la definición por límites. TEOREMA 2.2 LA REGLA DE LA CONSTANTE La derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real, entonces d c 0. dx (Ver la figura 2.14) Sea ƒ(x) DEMOSTRACIÓN de límite, se deduce que
d c dx f x lím
x

x

Se observa que la regla de la constante equivale a decir que lapendiente de una recta horizontal es 0. Esto demuestra la relación que existe entre derivada y pendiente
Figura 2.14

c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso

f x c x 0 c

0

x x

f x

lím
x x

0

lím 0
0

EJEMPLO 1 Aplicación de la regla de la constante Función a) y b) Derivada

7

f x 0 c) s t 3 2, k es constante d) y k

dy 0 dx f x 0 s t 0 y 0EXPLORACIÓN

Conjetura Utilizar la definición de derivada de la sección 2.1 para encontrar la derivada de las siguientes funciones. ¿Qué patrones se observan? Utilizar los resultados para elaborar una conjetura acerca de la derivada de ƒ(x) xn. a) ƒ(x) d) ƒ(x) x1 x4 b) e) ƒ(x) ƒ(x) x2 x1 2 c) ƒ(x) ƒ) ƒ(x) x3 x 1

108

CAPÍTULO 2

Derivación

La regla de la potencia
Antes de demostrar lapróxima regla, revisar el proceso de desarrollo de un binomio.

x x

x x

2 3

x2 x3

2x x 3x 2 x

x 3x

2

x

2

x

3

El desarrollo general del binomio para un entero positivo n cualquiera es

x

x

n

xn

nx n

1

x

nn

1 xn 2

2

x

2

. . .

x n.

( x)2 es un factor común en estos términos.

Este desarrollo del binomio se va a utilizar parademostrar un caso especial de la regla de la potencia. TEOREMA 2.3 LA REGLA DE LA POTENCIA
Del ejemplo 7 de la sección 2.1, se encontró que la función f(x) x1 3 está definida en x 0 pero no es derivable en x 0. Esto se debe a que x 2 3 no está definida sobre un intervalo que contiene al cero.
NOTA

Si n es un número racional, entonces la función ƒ(x)

xn es derivable y

d n x dx

nx n

1.1

Para que ƒ sea derivable en x 0, n debe ser un número tal que xn definido en un intervalo que contenga al 0.

se encuentre

DEMOSTRACIÓN

Si n es un entero positivo mayor que 1, entonces del desarrollo del binomio

resulta

d n x dx

lím
x

x xn

0

xn x nx n
1

xn nn 1 xn 2 x
2 2 2

x

x

. . .

x

n

xn

lím
x

0

lím
x

nx n 0

1

nn . . .0

1 2 0

xn

x

. . .

x

n

1

nx n 1 nx n 1.

y 4 3 2 1 x 1 2 3 4

Esto demuestra el caso en que n es un entero positivo mayor que 1. Se deja al lector la demostración del caso n 1. En el ejemplo 7 de la sección 2.3 se demuestra el caso para el que n es un entero negativo. En el ejercicio 76 de la sección 2.5 se demuestra el caso en el cual n es racional (en la sección5.5 la regla de la potencia se extenderá hasta abarcar los valores irracionales de n).
y x

Al utilizar la regla de la potencia, resulta conveniente separar el caso para el que n como otra regla distinta de derivación, a saber

1

d x dx

1.

Regla de las potencias para n

1.

La pendiente de la recta y
Figura 2.15

x es 1

Esta regla es congruente con el hecho de que la...