derivadas

 
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 Derivada
 de
 una
 función
 


 

por Oliverio Ramírez
 

En la figura siguiente, puedes observar la gráfica de una función cuadrática y una recta secante que corta
a la parábola en los puntos P y Q1.

Figura 1. Gráfica de una función cuadrática y una recta secante

El punto P se mantiene en la mismaposición, mientras que el punto Q1 se enumera porque toma varias
posiciones, como se te muestra a continuación.


 
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Figura 2. Gráfica de una función cuadrática y una recta secante

Como punto de partida, toma el hecho de que un punto posee una coordenada en x y una coordenada en y
= f(x). De esta manera, la gráfica queda como la siguiente:Figura 3. Gráfica de una función cuadrática y una recta secante


 
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La anterior gráfica te muestra que el punto P tiene coordenadas [x, f(x)], que son las distancias desde el
origen hasta el punto P. Observa que se prefirió f(x) en lugar de y por ser más conveniente esta notación
para el desarrollo del concepto de derivada.
A Δx se le llama“incremento en x”. Significa un cambio en el valor de x. Supón que x toma el valor 4, y Δx
es igual a 1.5, entonces: x + Δx = 4 + 1.5 = 5.5
A Δy se le llama “incremento en y”. Significa un cambio en el valor de y. Supón que y toma el valor 3, y Δy
es igual a 0.82, entonces: y + Δy = 3 + 0.82 = 3.82
La gráfica siguiente muestra los puntos P(4, 3) y Q(5.5, 3.82). Observa los cambios que sufrió el puntoinicial.

Figura 4. Gráfica de incremento

Las coordenadas del punto Q1 son [(x + Δx), f(x + Δx)], que son las distancias desde el origen hasta el
punto Q1. Observa y analiza las siguientes gráficas:


 
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Figura 5. Gráfica de rectas secantes

La pendiente de una recta, de acuerdo con la Geometría Analítica, es igual a la tangente de su ángulode
inclinación, esto es,
m = tan α
La tangente de un triángulo rectángulo, de acuerdo con la Trigonometría, se define como el cociente entre
el cateto opuesto (Δy) y el cateto adyacente (Δx), es decir,
msec = tan α =

Vy
Vx


 
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Figura 6. Gráfica de rectas secantes

En la siguiente gráfica, observa que al moverse el punto Q1, Q2, Q3…...