DERIVADAS

12

Límites
y derivadas

1. Funciones especiales

PIENSA Y CALCULA
Completa la tabla siguiente:

x

– 3,6

3,6

0,8

– 0,8

Ent(x)
Dec(x)
|x|
Signo(x)

Solución:
x

– 3,6

3,6

0,8

– 0,8

Ent(x)

–4

3

0

–1

Dec(x)

0,4

0,6

0,8

0,2

|x|

3,6

3,6

0,8

0,8

Signo(x)

–1

1

1

–1

APLICA LA TEORÍA
1 Representa lassiguientes funciones:

a) y = Ent(2x)

2 Representa las siguientes funciones:

b) y = signo(x – 1)

Solución:

b) y = |– x2 + 4|

a) y = |x + 2|
Solución:

a)

a)

Y

Y

y = Ent (2x)
X

X

b)

Y

Y
© Grupo Editorial Bruño, S.L.

b)

y = signo (x – 1)
X

366

X

SOLUCIONARIO

3 Representa las siguientes funciones:

a) y = |log2 x|

Solución:

b)y = |sen x|

Y

Solución:
a)

X

Y
y = |log2 x|
X

5 Representa la siguiente función:

b)

y=
y = |sen x|

1 Y
π/2

0

1

2

π
3

4

3π/2
5

2π
6 X

{

1/x

si x < 0

3x – 2

si x Ó 0

Solución:
Y

–1
X

4 Representa la siguiente función:

y=

{

x+4

si x Ì – 1

x2

si x > – 1

2. Límites

PIENSA Y CALCULA
Completa la tablay estima el valor al que tiende la función cuando x tiende al infinito:
x

10

100

1 000 10 000 100 000 1 000 000 …

x 8 +@
y8

y = 1/x

Solución:
10

y = 1/x

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

x

0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 …

100

1 000 10 000 100 000 1 000 000 …

x 8 +@
y8 0

APLICA LA TEORÍA
6 Calcula mentalmente los siguientes límites:

a) lím

x8+@

(x4

–

7x3

+ x – 5)

b) lím (x4 – 7x3 + x – 5)
x8 – @

TEMA 12. LÍMITES Y DERIVADAS

Solución:
a) lím (x4 – 7x3 + x – 5) = + @
x8 +@

b) lím (x4 – 7x3 + x – 5) = @
x8 – @

367

7 Calcula los siguientes límites y representa la fun-

8 Calcula mentalmente los siguientes límites:

ción correspondiente:
b) lím x + 4
x 8 – 4 x2 + 4x

a) lím

5x3 + 4x
2x3 + 1b) lím

– x4 + 5x
7x3 – 4

c) lím

x2 – 4
a) lím
x8 2 x – 2

4n3 + 1
2n3 – 3

d) lím

– x4 + 5x
7x3 – 4

e) lím

n2 + 5
4n3 – 3

f) lím

x 8 +@

n8 +@

Solución:

[]

x2 – 4
0
(x + 2)(x – 2)
a) lím ——— = — = lím ————— =
x8 2 x – 2
x8 2
0
x–2

n 8 +@

x8 – @

x8 +@

x8 – @

5x3 + 4x
2x3 + 1

= lím (x + 2) = 4
x8 2

Solución:

Gráfica:5x3 + 4x 5
a) lím ———— = —
x 8 + @ 2x3 + 1
2

Y
x2 – 4
y = ———
x–2
X

– x4 + 5x
b) lím ———— = + @
x 8 – @ 7x3 – 4
4n3 + 1
c) lím ———— = 2
n 8 + @ 2n3 – 3

[]

x+4
0
x+4
b) lím ——— = — = lím ——— =
x8 – 4 x2 + 4x
x 8 – 4 x (x + 4)
0
1
1
= lím — = – —
x8 – 4 x
4

– x4 + 5x
d) lím ———— = – @
x 8 + @ 7x3 – 4
n2 + 5
e) lím ———— = 0
n 8 + @ 4n3 – 3
5x3 + 4x 5
f )lím ———— = —
x 8 – @ 2x3 + 1
2

Gráfica:
Y
x+4
y = ———
x2 + 4x
X

PIENSA Y CALCULA
Un coche va de Asturias a Andalucía; recorre 800 km en 8 horas. ¿Cuál es su velocidad media?
Solución:
800
Velocidad media = —— = 100 km/h
8

368

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

3. La derivada

APLICA LA TEORÍA
Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones enel intervalo que se indica:
9 f(x) = 3x + 1 en [2, 4]

Calcula la función derivada aplicando la tabla de derivadas:
17 y = 3

Solución:

Solución:

y’ = 0

f(4) – f(2) 13 – 7
TVM[2, 4] = ———— = ——— = 3
4–2
2

18 y = x

10 f(x) = x2 – 1 en [2, 3]

Solución:

Solución:
f(3) – f(2) 8 – 3
TVM[2, 3] = ———— = ——— = 5
3–2
1

y’ = 1
19 y = x2

Solución:
2
11 f(x) =
en[1, 3]
x

y’ = 2x

Solución:

20 y = x5

f(3) – f(1) 2/3 – 2
2
TVM[1, 3] = ———— = ——— = – —
3–1
2
3

Solución:
y’ = 5x4

12 f(x) = √x en [0, 4]
21 y = x5 + x2 + x + 3

Solución:
f(4) – f(0) 2 – 0 1
TVM[0, 4] = ———— = ——— = —
4–0
4
2

Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de
las siguientes funciones en los puntos que se indica:
13 f(x) = 2x + 3 en x...