Derivadas

CAPÍTULO 1 RAZÓN DE CAMBIO
La producción de acero en Monterrey N.L. (México) en millones de toneladas, durante el año de 1992 a partir del mes de enero se muestra en la tabla.

ENE Meses Producción en millones de toneladas 1

FEB 2

MAR 3

ABR 4

MAY 5

JUN 6

JUL 7

AGO 8

SEP 9

OCT 10

NOV 11

DIC 12

6.7

8.5

8.9

7.8

9.7

10. 5

9.3

11.2

8.811.7

11.5

11.9

I) II)

Tomando valores consecutivos, ¿para qué intervalo de meses la producción de acero fue mayor y de cuánto fue? ¿Podrías calcular con una muy buena aproximación, qué producción hubo el 15 de junio?

Con el estudio de este capítulo aprenderás los conceptos de Razón de cambio promedio y Razón de cambio instantáneo para que los utilices en la solución de diversosproblemas.

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1.1 RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
En la vida diaria se determinan razones de cambio de diversas situaciones de tipo natural, Económico, Social. Situaciones en las que nos interesa conocer cuál es el más pequeño (mínimo) o más grande (máximo) valor, como aumenta (crece) o disminuye (decrece) ese valor, en un intervalo de tiempo específico, en general problemas donde se estudianfenómenos relativos a la variación de una cantidad que depende de otra, por lo que se hace necesario describir y cuantificar estos cambios a través de modelos matemáticos, gráficas y tablas como se muestra en los ejemplos siguientes EJEMPLO El tiempo total necesario para detener un automóvil después de percibir un peligro, se compone del tiempo de reacción (tiempo entre el reconocimiento del peligro y laaplicación del freno). La gráfica 1 muestra las distancias de parada en metros (distancia que necesita para detenerse totalmente) de un automóvil que viaja a las velocidades V(m/seg) desde el instante que se observa el peligro. Una compañía que fabrica autos realiza pruebas con coches manejados a control remoto y para garantizar que estos tienen distancia promedio de parada aceptables se planteanlas siguientes cuestiones:
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.9 1.6 2.7 4.1 6.2 8.8 11.9

d(m)

v(m/seg)
Si un automóvil viaja a una velocidad de 40 m /seg y en esos momentos esta colocada una barda a 14.0 mts. frente a él, al aplicar el freno ¿choca el auto contra la barda? ¿Por qué? I) Completa la tabla de acuerdo a los puntos de la gráfica x y 0 0 5 10 1.615 20 22.5 25 6.2 30 35 11.9

Velocidad v (m/seg) Distancia de parada d(m)

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II)

¿Cuál es el tiempo promedio de frenado para valores comprendidos: a) entre los 20 y 30 m/seg. b) de 30 a 35 m/seg.

El tiempo promedio de frenado, es el aumento de parada para cada cambio en la velocidad, es decir, la razón de cambio en distancia, al cambio en velocidad. Por ejemplo, la razón de cambiode frenado de los 10 a los 20 m/seg es: cambio en distancia cambio en velocidad ahora contesta los incisos a y b de 20 a 30 m/seg el tiempo promedio de frenado es:_____________ de 30 a 35 m/seg el tiempo promedio de frenado es:_____________ III) Calcula el tiempo promedio de frenado para puntos consecutivos e indica para qué velocidad el tiempo promedio de frenado fue mayor y cuál fue.
= 4.1 1.62.5 = = 0.25seg. 20 10 10

Para determinar el tiempo promedio de frenado para puntos consecutivos se utiliza: cambio en distancia cambio en velocidad

por lo tanto de 0 a 5 m/seg
= 0 .6 0 0 .6 = = 0.12seg. 5 0 5

de 5 a 10 m/seg

=

1. 6 0 . 6 1 = = 0.2seg. 10 5 5

completa los demás cálculos de 10 a 15 m/seg. de de de de de 10 15 22.5 25 30 a a a a a 15 m/seg 20 m/seg 25 m/seg 30m/seg 35 m/seg

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Como puedes observar conforme aumenta la velocidad aumenta la distancia de frenado del automóvil, con lo que el tiempo promedio de frenado también va aumentando y por lo tanto debe ser mayor para cuando V = 40 m/seg que para las velocidades anteriores. Al calcular el tiempo promedio de frenado de un auto que viaja a 40 m/seg y cuya distancia de parada es de 14.0 mts....