DERIVADAS

Derivada :
Def: sea

una función continua en

definiremos la derivada de

como :

Que se puede denotar :

Donde cabe destacar la diferencia existente entre :

donde :
Es la derivada de y con respecto a x

Es la derivada de x con respecto a y
La interpretación geométrica de la derivada es :
"La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a tal función "Ejemplos de derivada ocupando la definición :
Derivar usando la definición :

nos queda :

pero que ocurre cuando tenemos que derivar :

Es un poco mas laborioso ocupar esa definición para funciones mas extensas ,
por eso existen las formulas de derivación , para ahorrarnos trabajo , son las
siguientes :
Primero definiremos :
sean u y v funciones de una misma variable .
n pertenecientes alos naturales
c un numero real
1) Derivadas algebraicas ( suma , resta , multiplicación . etc...)

2) derivadas de razones trigonometricas :

3) derivadas exponenciales y logarítmicas :

4) derivadas de las funciones arcos :

Esas son todas las formulas de derivación , la mejor forma de aprendérselas es con
muchos ejercicios , que fácilmente los pueden encontrar en los propuestos defmat .

Ejemplos de derivadas :
1) Derive :
a)
entonces la derivada quedaría ocupando la formula:

b)
ocupando la formula del producto y de cosecante :
con u y v funciones de misma

variable
nos queda:

c)

d)

e) demostrar que

satisface la ecuación:

entonces derivamos la función :

y la reemplazamos en la ecuación que nos indican:

luego también reemplazamos la funciónsin derivar y resolvemos:

Quedando demostrada la igualdad .
1.1 Derivada implicita :

Nosotros cuando estamos en presencia de funciones explícitamente escritas , ósea que
las variables se pueden despejar una en función de la otra , podemos derivar
tranquilamente con las formulas de derivación pertinentes sin problemas , un ejemplo
de función explicita es el siguiente :

Pero cuandoestamos en presencia de funciones implícitas , ósea las variables no se
pueden despejar una en función de otra , como es el caso por ejemplo :

Tenemos que derivar usando la derivación implícita , trata de lo siguiente , cuando
derivamos implícitamente , dependiendo a que variable estemos buscando la derivada
tendremos que a esa variable al derivarla multiplicarla por la derivada de esa variablecon exponente 1 , ósea es como multiplicar por un 1 y así no alterar el resultado .

Ejemplo de derivada implícita :

Derivemos la siguiente función con respecto a x , ósea :

como nos damos cuenta cada vez que derivamos la variable y , le multiplicamos el uno
característico que explique , luego arreglamos algebraicamente para despejar ese y' :

1.2 Derivación logarítmica :
Se aplicacuando el exponente de una función es otra función :

se hace lo siguiente :

ejemplo :

2.0 Aplicaciones de la derivada :
1) Como definimos al principio , la derivada es la pendiente de la recta tangente de la
función en cuestión , entonces vamos a ver las ecuaciones de las rectas tangente y
normal :
Recta tangente : la recta tangente a una función f(x) en un punto
que toca en esepunto a la función , llamándose punto de tangencia :

es una recta L

La ecuación es la siguiente :

donde claramente vemos que la pendiente es la derivada de la función .
Recta normal : es la recta perpendicular a la recta tangente , cuya ecuación es la
siguiente :

- Cabe recordar dos puntos :
a) rectas paralelas : son aquellas rectas que sus pendientes son iguales .
b) rectasperpendiculares : son aquellas rectas cuyas pendientes al ser multiplicadas
entre si dan como resultado -1 .
2.1 Aplicación en limites : Se ocupa cuando el limite no se puede calcular , obteniendo
una forma
indeterminada de la forma :
entonces se define lo siguiente :
sean f(x) y g(x) funciones continuas y derivables y el siguiente limite :

obteniendo una forma indeterminada , entonces se puede...