DERIVADAS

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Definición de derivada: En una función, límite hacia el cual tiende la razón entre el incremento de la función y el correspondiente a la variable cuando el incremento tiende a cero
Propiedades de la derivada:
1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.
2. La derivada de la suma de dos funciones esigual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de unnúmero constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente conel nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de unafunción con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La reglade la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,
h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)
Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,Reglas de la caden: Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,
                                              
 
y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,
 
                                           
 entonces la función compuesta
                                      
 
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene
 
                                     
Diferenciales:  Herramienta matemática que nos permite trabajar sobre espacios tangentes de diferentes variedades aprovechado las buenas propiedades de unos bien conocidos sobre otros que casi no conocemos.
Formula de de derivadas:

Derivada de una constante

Derivada dex

Derivada de la función lineal

Derivada de una potencia

Derivada de una raíz cuadrada

Derivada de una raíz

Derivada de una suma

Derivada de una constante por una función




Aplicación de la derivada: La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas devariación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.
 Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
  
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la primera derivada de la función:
 
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si...