DERIVADAS

C´lculo Diferencial e Integral - Reglas de derivaci´n.
a
o

Farith J. Brice˜ o N.
n

Objetivos a cubrir

C´digo : MAT-CDI.8
o

• Reglas de derivaci´n. Derivada de la suma, producto y cociente de funciones.
o
• Reglas de derivaci´n. Regla de la cadena.
o
• Derivadas de orden superior. Derivaci´n impl´
o
ıcita.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 1 : Derive la siguiente funci´n
o
f(x) =

√

3
x+ √
x

Soluci´n : Tenemos
o
√

f (x) =

3
x+ √
x

√
= ( x) +

1 1 −1
1
x2 + 3 −
2
2

=

x

3
√
x

1
− 2 −1

=

= x1/2 + 3x−1/2

= x1/2 + 3 x−1/2

3 −3
1
3
x−3
1 −1
x 2 − x 2 =
1 −
3 =
2
2
2x3/2
2x 2
2x 2

Luego
f (x) =

x−3
.
2x3/2

Ejemplo 2 : Derive la siguiente funci´n
o
h (x) = cos4 sen2 x
Soluci´n : Aplicandoregla de la cadena, ya que, la funci´n a derivar es una comp’osici´n de funciones,
o
o
o
observe que el orden en que aparecen las funciones en dicha composici´n es:
o
(·)

−→

sen (·)

−→

(·)2

−→

(·)4

−→

cos (·)

(x) −→ sen (x) −→ (sen (x))2 −→ cos sen2 (x)

cos sen2 (x)

−→

4

= cos4 sen2 (x)

para derivar comenzamos con la ultima que aplicamos, en este caso lafunci´n (·)4 , continuamos con cos (·) y
´
o
as´ sucesivamente.
ı,
(·) −→ sen (·) −→

(·)2

−→

cos (·)

−→

(·)4
↓ ← Derivada

1

cos (·)

4 (·)3

− sen (·)

2 (·)

as´
ı,
2

(x) −→ sen

x
↓

−→
Funci´n
o
interna

sen (x)
↓

4

−→

cos sen2 (x)

Funci´n
o
interna

↓

−→

cos sen2 (x)

Funci´n
o
interna

↓

Funci´n
o
interna
31

cos

x

− sen sen2 (x)

2 sen (x)

4 cos sen2 (x)

luego
h (x) = (1) (cos (x)) (2 (sen (x))) − sen sen2 (x)
1

4 cos sen2 (x)

3

es decir,
h (x) = −8 sen x cos x sen sen2 x cos3 sen2 x .
Tambi´n podemos derivar directamente usando la regla de la cadena
e
h (x) = cos4 sen2 x

= 4 cos3 sen2 x

cos sen2 x

= 4 cos3 sen2 x

− sen sen2 x

sen2 x

= −4 cos3sen2 x sen sen2 x (2 sen x) (sen x)
= −8 cos3 sen2 x sen sen2 x sen x cos x
Luego
h (x) = −8 sen x cos x sen sen2 x cos3 sen2 x .

Ejemplo 3 : Derive la siguiente funci´n
o
f (x) =

3

x+

x+

√

x

Soluci´n : Observemos que esta funci´n es una funci´n compuesta, as´ para obtener su derivada aplicamos
o
o
o
ı,
la regla de la cadena, comenzamos derivando la ultima funci´n queaplicamos, en este caso 3 (·), donde
´
o
3

(·)

= (·)1/3

=

√

1
3

1
1
1 1/3−1 1 −2/3
(·)
= (·)
=
=
2/3
3
3
3 (·)
3 3 (·)2

entonces,
f (x) =

3

x+

x+

x

=

1
3

=

1
3

=

1
3

=

1
3

=

1
3

x+

x+

√

x+

2

x+

x+

√

(x) +

2

x+

x+

√

1+

x+

x+

√

x+

x+

√

1
2

1+

1
2x

2

x

1
3

1
2

1+

2

1
3

x

x+

√

x

x

1
3

√

x

1
3

x+

2

x

1
x+
1
x+
1
x+

√

√

√

x

x

x

(x +

1
3

3

x+

x+

√

1+

2

x

2

1
2

x+

√

x

1
1+ √
2 x

x)

√
(x) + ( x)

1
1+ √
2 x

Luego
f (x) =

√

.

Ejemplo 4 : Estudie el signo de la primera y segundaderivada de la siguiente funci´n
o
g (x) = x4/3 − 4x1/3
Soluci´n : Calculamos la primera derivada
o
g (x) = x4/3 − 4x1/3

4
4x−1
4
4
4
= x1/3 − x−2/3 = x1/3 − 2/3 =
3
3
3
3 x2/3
3x

=⇒

g (x) =

4x−1
,
3 x2/3

estudiamos el signo de la derivada, es decir, resolvemos una de las siguientes desigualdades
4x−1
>0
3 x2/3
Resolvemos la primera,
denominador
x−1=0

4x−1
< 0,3 x2/3

o
´

4x−1
> 0. Buscamos la ra´
ıces de la expresi´n del numerador y la expresi´n del
o
o
3 x2/3
=⇒

x = 1,

x2/3 = 0

y

=⇒

x=0

Estudiamos el signo
(−∞, 0) (0, 1) (1, ∞)
4/3

+

+

+

x−1

−

−

+

x2/3

+

+

+

−

−

+

Luego, la primera derivada es positiva si
x ∈ (1, ∞)
y es negativa si
x ∈ (−∞, 0)

(0, 1)

Calculamos,...