DERIVADAS

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
APUNTE: CONCEPTOS BASICOS DE DERIVADA
1.- Derivada de una función
Sea y = f (x) una función que depende de x.
Se define la derivada de dicha función como otra función:

f ' ( x) =
La simbología de la derivada es

lim
h→0

f ' ( x) =

f ( x + h) −
h
y' =

f ( x)

∂y
∂x

Analíticamente la derivada es un límite, queexistirá si el límite existe.

2.- Derivada de las funciones elementales.

( a )′

=

( x )′

=

n

(

x

)′

=

′
 1 


 x 
′
ex
′
a x

(log a x )′

=

(
(

1
2

x

−1
x2

=

ex

=

)
)

a

=

x

ln x

n x n −1

=

( x )′
(

∀ a cte

0

)′

x

ln a
1
x ln a

x x (ln x + 1 )
1
=
x

3.- Algebra de derivadas.3.1. Derivada de una suma y diferencia:
Sean f
y g 2 funciones definidas en , derivables ∀ x ε ]a,b[, entonces
derivable en x ε ]a,b[ y se cumple que:

(f
(f

+ g ) (x ) =

f ' (x ) +

'

− g ) (x ) =

f ' (x ) −

'

f

±

g es

g ' (x )

g ' (x )

Ejemplos:
1. Sea

f ( x ) = 3 x − x , entonces

f ' (x ) = 6 x −

2. Sea

f ( x ) = 3 x − ln (2 ) , entonces

f' ( x ) = 3 x ln(3)

3. Sea

f ( x ) = 5 x 2 − 5 x + log5 ( x ) , entonces
f ' ( x ) = 10 x −

1
55 x 4

+

1
2 x

1
x ln (5)

3.2. Derivada del producto de una constante por una función:
Si ƒ: ]a,b[ → , es derivable ∀ x ε ]a,b[ y C ε , entonces

(C

⋅ f ( x ))

C ⋅ f ' (x )

=

'

C ⋅ f ( x ) es también derivable en ]a,b[.

Ejemplos:
1.

f ( x) = 4 x 3 ;entonces f ' ( x ) = 12 x 2

2.

f ( x) = 2 x

− 5 ln( x ) ; entonces f ' ( x ) =

∴

f ' ( x) =

1
x

−

2
2 x

−

5
x

5
x

3.3. Derivada de un producto de funciones:

]a, b[

→ ℜ son funciones derivables ∀x ∈

Si

f ,g :

en

]a, b[

entonces f • g es derivable

]a, b[ y se tiene:
(f

• g )(x)
'

=

f '( x) • g ( x)

+

f ( x) • g '( x)Ejemplos:

f ( x) =

1. Sea

(5 x + 2) •

=

(5 x + 2 )'

f '(x)
∴

x

(5 x + 2 ) • (

+

x
+

(5 x + 2) •

(2 x )' e x

+ 2x ex

f ' ( x) = 5 x

x

)

'

1
2 x

f ( x) = 2 xe x

2. Sea

f ' ( x) =

f ' ( x ) = 2e x
f ( x) =

3. Sea

3

f ' ( x) =
∴

f ' ( x) =

( )

'

+ 2 xe x

x ln( x)

( x ) ln( x)
'

3

1
33 x 2

+

3ln( x) +

x (ln( x) )
3

x
x

3.4. Derivada de un cuociente de funciones:
Si

]a, b[

f ,g :

existe

→ ℜ son funciones derivables ∀x ∈

f
y es derivable en ]a, b[ y se tiene:
g
′
 f ( x) 

 g ( x)  =




f ′ ( x) ⋅ g ( x) − g ′ ( x) ⋅ f ( x )
g2 ( x)

Ejemplos:
1. Sea

f ( x) =

f ' ( x) =
f ' ( x) =
∴ f ' ( x) =
2. Sea

f ( x) =
f ' ( x) =x2
3
tal que, x ≠ −
entonces:
2x + 3
2

(x ) (2 x + 3)
2 '

( )

+ x 2 (2 x + 3)
(2 x + 3)2

2 x(2 x + 3) − x 2 2
(2 x + 3)2
2 x2 + 6 x
(2 x + 3)2

1
, con x ≠ 1 entonces:
1− x

(1)' (1 − x ) − (1)(1 − x )'
(1 − x )2

'

]a, b[

,con g ( x ) ≠ 0 , entonces

0(1 − x ) − (1)(− 1)
(1 − x )2

f ' ( x) =

1
(1 − x )2

∴ f ' ( x) =

3.5. Regla de la cadena.f : ]a, b[ → ℜ y g : ]c, d [ → ℜ , derivables en ]a, b[ y ]c, d [ respectivamente,

Sean

( fog ) : ]a, b[

entonces se tiene

Se define la derivada por:

→ ℜ por lo que es derivable en ]a, b[ .

( fog )' ( x )

g '[ f ( x ) ]• f ' ( x )

=

Ejemplos:

h( x ) =

2. Sea

(3 x − 2 )2 luego h(x) es una
( gof )( x ) = g ( f ( x)) . Luego se tiene que f ( x)
∴ h' ( x) = 2(3x − 2 ) • 3 entonces h' ( x)

h( x ) =

h(x)

x y f ( x) = 1 + x 2

(x

=

g ( x) =

x5

3

+ 3 sen( x )

)

f ( x) =

y

(

∴ h' ( x ) =
5

Sea

x2 ;

2 1 + x2

)

f ( x) = ln( x) ; k ( x) = sen( x)

∴ h' ( x) = 2 ln(sen( x)) •
Sea

1

h( x) = ln 2 (sen( x)) , entonces:
g ( x) =

5.

= 6(3 x − 2 )

x3 + 3 sen( x)

) (

h( x ) =
g ( x)...