derivadas

Continuidad de una función




 Criterios de continuidad de una función en un número

          Se dice que una función  f es continua en el número a si y sólo si se cumplen las trescondiciones siguientes:
   

            Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puedeobservar un "salto" o un  "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial.

Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en lagráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).
Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres dediscontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

 T e o r e ma s    d e    c o n t i n u i  d a d


 Ejercicios resueltos
          En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine losvalores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a 14demuestre que la función es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina  f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En losejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada.























S o l u c i o n e s

 1. Solución:

x
-4
0
2
f (x)
-6
-2
0f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se cumple; conclusión:
 f es discontinua en -3.



 2.  Solución:

x
-6
-1
0
2
3
5
6
9
h(x)
-0.5...