Derivadas

Por tanto, la recta x=12π es una asíntota vertical de la gráfica. La tabla 1 muestra algunos valores de x del intervalo 0,12π y los valores correspondientes de tanx. Al localizar los puntos cuyas coordenadas son los pares de números x,tanx, se obtiene la porción de la gráfica para x en -12π,0. Como el periódico de la función tangente es π, se completa la gráfica de tanx,como se muestra en la figura 5.
La grafica de la función cotangente se puede obtener a partir de la gráfica de la tangente empleando la identidad.
cot x= -tan⁡(x+12π)
De esta identidad se deduce que la gráfica de la cotangente se obtiene de la gráfica de la tangente, al trasladar 12π unidades ala derecha al eje y después considerar la reflexión de la gráfica con respecto aleje x. La grafica de la función cotangente se presenta en la figura 6.

Como
secx+2π=secx
La función secante es periódica con periodo 2π. El dominio de esta función es el conjunto de todos los números enteros. El contra dominio de esta función es (-∞,-1 1,+∞). La función continúa en todo número de su dominio. La grafica no interesa al eje x nunca toma el valor cero.
Se utilizarála derivada para determinar si la gráfica tiene alguna recta tangente horizontal. Sean
fx=sec x y f´x=sec x tanx
Al considerar f´x=0 se obtiene que secx tanx=0. Como sec x ≠0, entonces f´x=0 cuando tanx=0, lo9 que ocurre x=kπ, donde k es cualquier número entero.
Primeo se obtendrá la gráfica para x en -12π,12π( 12π, 32). Se tiene rectas tangentes horizontales en x=0 y x=π.Además, como
limx→-π2+sec x= limx→-π2+1cos x limx→π2-sec x= limx→π2-1cos x
=+∞ =+∞
limx→π2+sec x= limx→π2+1cos x limx→3π2+sec x= limx→3π2-1cos x
=-∞ =-∞
Entonces las rectas x= -12π, x=12π y x=32πson asíntotas verticales de la gráfica. Con la información anterior y localización algunos puntos se dibuja la gráfica de la función secante para x en (-12π,12π) ⋃ (12π,32π). Debido a que el periodo de esta función es 2π, se obtiene la gráfica mostrada en la figura 7.
De la identidad

Se obtiene la gráfica de la función cosecante a partir de la figura de la secante al trasladar12π unidades a la izquierda al eje y. La gráfica de la función cosecante se muestra en la figura 8.

Ejemplo 6 un péndulo de 10 cm de longitud ha oscilado de modo que θ es la medida en radianes del Angulo a formato por el péndulo y una recta vertical. Si h(θ) centímetros es la altura vertical del extremo del péndulo por arriba de su posición más baja, determinar la tasa instantáneade variación de h(θ) con respecto a θ cuando θ=16π.
Solución
Refiérase a la figura 9. Como hθ=AB-BC, se tiene
hθ=10-10 cosθ
h´θ=-10(-sen θ)
=10 senθ
Así, h´16π=10 sen 16π, esto es h´16π=5.
Conclusión: cuando θ=16π la tasa variación instantánea de h(θ) con respecto a θ es 5 cmrad.

Ejercicios 2.7
1. Demuestre: Dx(cot x)=-csc2 x.
2. Demuestre: Dx(csc x)=-csc xcotx.
enlos ejercicios 3 a 18, calcule la derivada de la funcion.

3. fx=3 sen x
4. gx=sen x+ cos x
5. gx=tan x+ cot x
6. fx=4sec x-2cscx
7. ft=2t cost
8. fx=4x2cosx
9. gx= x sen x+cosx
10. gy= 3 sen y-ycosy
11. hx= 4 sen xcosx
12. fx= x2 sen x+2x cosx
13. fx= x2 cos x-2x sen x-2cosx
14. hy= y3-y2cosy+2y sen y+2cosy
15. fx=3secxtanx
16.ft=sen ttant
17. fy=cos ycot y
18. hx=cot x cscx
19. Dz2cos zz+1
en los ejercicios 19 a 30, obtenga la derivada.
20. Dtsen t t
21. ddxsen x1-cosx
22. ddx4+xcosx
23. ddttn tcos t-4
24. ddycoty1-sen y
25. ddy1+sen y1-sen y
26. ddxsen x-1cosx+1
27. Dxx-sen xx+cosx
28. : Dzz2+cosz)(2z-sen z)
29. Dt2csct-1csct+2
30. Dytany+1tany-1...