Derivadas

DERIVADA
Y DIFERENCIACIÓN

2.1 Recta tangente y derivada
2.2 Diferenciabilidad y continuidad
2.3 Derivada numérica
2.4 Teoremas sobre diferenciación de funciones
Algebraicas y derivadas de orden superior.
2.5 Movimiento rectilíneo
2.6 Derivada como tasa de variación
2.7 Derivada de las funciones trigonométricas
2.8 Derivadas de una función compuestas y regla
de la cadena.
2.9Derivada de la función potencia para exponentes
racionales y diferenciación implícita.
2.10 Tasas de variación relacionadas.









2.1 RECTA TANGENTE Y DERIVADA
















2.1.1 Definición de recta tangente a la grafica de una función.
Suponga que la función ƒ es continua en x_1. La recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto P (x_1, ƒ (x_1)) es

La recta quepasa por P y tiene pendiente m(x_1), dada por

m(x_1) = 〖lím〗_(Δx⟶0)=( ƒ (x_1+ Δx) – ƒ (x_1))/∆x

Si este límite existe,
La recta x = x_1 si
〖lím〗_(Δx⟶0+)=( ƒ (x_1+ Δx) – ƒ (x_1))/∆x es + ∞ o - ∞

Y
〖lím〗_(Δx⟶0-)=( ƒ (x_1+ Δx) – ƒ (x_1))/∆x es + ∞ o - ∞





















2.1.2 Definición de recta normal a una grafica
La recta normal a unagráfica en un punto dado es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto.





































 

7.ƒ(x) = 3x² - 12x + 8
8. ƒ(x) = 7 – 6x - x²
9. ƒ(x) = x³ - 6x² - 9x – 2
10. ƒ(x) = 2x³ 3x²
En los ejercicios 11 a 16, obtenga ecuaciones de la recta tangente y de recta normal a la grafica de la ecuación en el punto indicado.Trae en la graficadora la grafica junto con las rectas tangente y normal en el mismo rectángulo de inspección.
11. y =
12. y = √(4-x);(-5,3)
13. y = 2x - x³; (-2, 4)
14. y = x³ - 4x; (0, 0)
15. y = 4/x²;(2,1)
16. y = - 8/(√x);(4,-4)
17. Sea ƒ(x) = 3x² - 7x. (a) En la calculadora determine los valores del cociente de diferencias estándar.
(ƒ(2+ Δx)- ƒ(2))/(x-2)
Cuando Δx es igual a 0.10,0.09, 0.08,…, 0.01, y -0.10, -0.09, - 0.08,…, -0.01. ¿A qué valor parece que se aproxima el cociente conforme Δx tiende a 0? (b) Calcular ƒ´(2) aplicando la formula (4) y compare este número con la respuesta del inciso (a). (c) En la calculadora determine los valores del cociente de diferencias estándar.
(ƒ(x)- ƒ(2))/(x-2)
Cuando x es igual a 2.10, 2.09, 2.08,…,2.01, y 1.90, 1.91, 1.92,…,1.99.¿A qué parece que se aproxima el cociente conforme x tiende a 2? (d) calcule ƒ´(2) aplicando la formula (7) y compare este número con la respuesta del inciso (c).
18. Haga el ejercicio 17 considerando ahora ƒ(x) = x³.
19. Resuelva el ejercicio 17 considerando ahora ƒ(x) = √(6-x)
20. Haga el ejercicio 17 considerando ahora ƒ(x) = 1/(4-x)
En los ejercicios 21 a 30, determine ƒ´(x_1) en dos formas:(a) aplique la formula (7); (b) aplique la formula (4).
21. ƒ(x) = 8/(x-2); x_1=6
22. ƒ(x) = 2/√x-1; x_1=4
23. ƒ(x) = sen x; x_1 = 0
24. ƒ(x) = cos x; x_1= 0
25. ƒ(x) = sen x; x_1= 1/2 π
26. ƒ(x) = cos x; x_1= 1/2 π
27. ƒ(x) = sec x; x_1=0
28. ƒ(x) = tan x; x_1=0
29. ƒ(x) = cot x; x_1= 1/2 π
30. ƒ(x) = csc x; x_1= 1/2 π
En los ejercicios 31 a 36, determine ƒ´(x) aplicando laformula (3).
31. ƒ(x) = -4 32. ƒ(x) = 10
33. ƒ(x) = 7x+3 34. ƒ(x) = 8-5x
35. ƒ(x) = 4+5x-2x²
36. ƒ(x) = 3x² -2x+1
En los ejercicios 37 a 40, calcule la derivada indicada.
37. d/dx(8-x³) 38. d/dt(t³+1)
39. D_r ((2r+3)/(3r-2)) 40. D_r (1/x^2 -x)
En los ejercicios 41 a 44, encuentre dy/dx.
41. y = 3x + 6/x² 42. Y = ∛x
43. y =1/√(x-1) 44. Y = 4/(2x-5)
45. Obtenga una ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x² + 3 que sea paralela a la recta 8x – y + 3 = 0.
46. Determine una ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x² - 4 que sea paralela a la recta 3x+y=4
47. Encuentre una ecuación de la recta normal a la curva y = 2 - 1/3x² que sea paralela a la recta x – y = 0.
48. Obtenga una ecuación de...