derivadas

Cap´
ıtulo 4

Derivadas e Integrales
4.1.

Introducci´n a la derivaci´n
o
o

En este cap´
ıtulo presentaremos los conceptos m´s b´sicos del c´lculo diferencial e
a a
a
integral. Este cap´
ıtulo se divide en dos grandes partes. La primera parte que trata con
el concepto de la derivada, y la segunda parte que introduce el concepto de la integral.
Adem´s, se ver´ el nexo que existeentre ambos conceptos a trav´s de un muy importante
a
a
e
teorema.

4.1.1.

Derivada de una funci´n
o

Si tuvi´semos que definir a la derivada de una funci´n en pocas palabras, dir´
e
o
ıamos
que representa su tasa de crecimiento. Es decir, la derivada de una funci´n nos dice, de
o
alguna manera, cu´nto cambia la funci´n(variable dependiente) a medida que cambia la
a
o
variableindependiente. La derivada de una funci´n nos dir´ si una funci´n crece o decrece
o
a
o
r´pidamente o lentamente. Para introducir el concepto de derivada de una funci´n, mejor
a
o
comenzaremos describiendo el significado geom´trico que tiene, para luego definirla m´s
e
a
correctamente.
Significado geom´trico de la derivada
e
Consideremos una funci´n lineal como f (x) = mx+n. Sabemos quela pendiente de la
o
recta descrita por esta funci´n es constante e igual a m. Es decir, la tasa de crecimiento de
o
esta funci´n es constante y vale m. Decimos que la derivada de esta funci´n es constante
o
o
para todo x y vale m.
Consideremos ahora, a modo de ejemplo, la funci´n cuadr´tica f (x) = x2 . Cu´l es la
o
a
a
tasa de crecimiento de esta funci´n. Al graficar esta funci´n(unapar´bola) nos damos
o
o
a
cuenta que su tasa o ritmo de crecimiento no es constante. A medida que nos alejamos del
origen a lo largo del eje x hacia la derecha, esta funci´n crece y crece cada vez m´s r´pido.
o
a a
¿Como poder medir m´s cuantitativamente esta tasa de crecimiento? Consideremos los
a
siguientes dos puntos de la par´bola:
a
P1 (1, f (1)) = P1 (1, 1)

112

Derivadas eIntegrales
P2 (2, f (2)) = P2 (2, 4)

Una buena manera de medir cuanto cambia la funci´n f (x) al ir de x = 1 a x = 2 es
o
calcular la pendiente de la recta que une los puntos (1, 1) y (2, 4). Dicha pendiente vale:
4−1
=3
2−1

m=

Esta pendiente representa la tasa de crecimiento ”promedio”de la funci´n al ir de x = 1
o
a x = 2 ya que la funci´n crecer´ m´s lentamente cerca de x = 1y m´s r´pidamente
o
a a
a a
cerca de x = 2. ¿Como poder saber, de mejor manera cuanto crece f (x) cerca de x = 1.
F´cil. Consideremos un punto m´s cercano que P2 al punto P1 . A decir, consideremos el
a
a
punto
P3 (1,5, f (1,5)) = P3 (1,5, 2,25)
Repitiendo el c´lculo para la pendiente promedio entre los puntos P1 y P3 , encontramos
a
que:
1,25
2,25 − 1
=
= 2,5
m=
1,5 − 1
0,5Notemos que al ir considerando un punto, llamado Pk , cada vez m´s cercano a P1 , la
a
recta que une P1 con Pk se asemeja cada vez m´s con la recta tangente a P1 . Decimos
a
que en el l´
ımite, la recta que une los puntos P1 y Pk es la recta tangente a la curva en P1 .

4

3

recta tangente
a y=x2 en P1

2

1

P1
-2

-1

1

2

´
Definicion 1 (geometrica de derivada) Laderivada de una funci´n f (x) en x◦ se
o
define como la pendiente de la recta tangente al gr´fico de f (x) en el punto (x◦ , f (x◦ )).
a

4.1.2.

Noci´n de l´
o
ımite

Entender el concepto de l´
ımite es fundamental en cualquier curso serio de c´lculo.
a
Sin ir m´s all´, la derivada es un l´
a
a
ımite. Pero, ¿ qu´ es un l´
e
ımite ? Al estudiar series
ya introducimos, sin darnoscuenta, la noci´n de l´
o
ımite. Por ejemplo, consideremos la
siguiente suma :
1 1 1
1
Sn = + + + · · · + n
2 4 8
2
¿Qu´ pasaba si n crec´ al infinito? Esta suma se transformaba en una serie geom´trica
e
ıa
e
cuyo valor sabemos que es 1. Matem´ticamente, esto se expresa como:
a
l´ Sn = 1
ım

n→∞

4.1 Introducci´n a la derivaci´n
o
o
x
±1
± 0.5
± 0.1
± 0.05
± 0.01

113...